泊松分布是常见到的离散概率分布。
泊松分布的函数为：
P ( X = k ) = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , 2 … P(X = k)=frac{lambda^k}{k!}e^{-lambda}, k=0,1,2ldots P(X=k)=k!λke−λ,k=0,1,2…
对此函数求和：
∑ k = 0 + ∞ λ k k ! e − λ = e − λ ∑ k = 0 + ∞ λ k k ! = 1 displaystyle sum^{+infty}_{k=0}frac{lambda^k}{k!}e^{-lambda}=e^{-lambda}displaystyle sum^{+infty}_{k=0}frac{lambda^k}{k!}=1 k=0∑+∞k!λke−λ=e−λk=0∑+∞k!λk=1
满足概率空间为1的条件。
泰勒公式（找出 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处的近似函数 g ( x ) g(x) g(x)）：
f ( x ) = g ( x ) = g ( x 0 ) + f 1 ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f 2 ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + ⋯ f(x)=g(x)=g(x_0)+frac{f^1(x_0)}{1!}(x-x_0)+frac{f^2(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+cdots+frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+cdots f(x)=g(x)=g(x0)+1!f1(x0)(x−x0)+2!f2(x0)(x−x0)2+⋯+n!fn(x0)(x−x0)n+⋯
e λ = 1 + λ + λ 2 2 ! + λ 3 3 ! + ⋯ = ∑ k = 0 + ∞ λ k k ! e^{lambda}=1+lambda+frac{lambda^2}{2!}+frac{lambda^3}{3!}+cdots=displaystyle sum^{+infty}_{k=0}frac{lambda^k}{k!} eλ=1+λ+2!λ2+3!λ3+⋯=k=0∑+∞k!λk
泊松分布的应用：具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的。例如，一本书一页中的印刷错误数、某地区在一天内邮递遗失的信件数、某一医院在一天内的急诊病人数、某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数、在一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计数器的 α alpha α粒子数等都服从泊松分布。泊松分布也是概率论中的一种重要分布。