@(概率论)
问：从F(x,y)是否可以求得f(x,y)? 是不是只有相互独立时，由 f(x,y)=fX(x)fY(y) 得到。
其中,
fX(x)=F′X(x) ,而 FX(x)=limy→∞F(x,y)
fY(y)=F′Y(y) ,而 FY(y)=limx→∞F(x,y)
这次主要总结的是：已经知道 (X,Y) 的二维联合分布，如何求得: (U,V) 的联合分布，其中 U=g1(X,Y),V=g2(X,Y)
方法是：
看一道习题的解法。
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为：
f(x,y)={4xy,0,0<x<1,0<y<1,其他求二维随机变量 (X2,Y2) 的概率密度。
分析：首先需要明确的是X,Y是否相互独立，如果不独立该怎么办？
计算 fX(x),fY(y)
公式是：
fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy
fY(y)=∫+∞−∞f(x,y)dx
表示的是求x时，y要取遍所有的值。
求y时，x要取遍所有的值。
而当题中已经给了x,y的取值范围时，要特别注意取遍所有值的含义。如果还是死代公式，用的是无穷大来解，但忽视了对应的取值，将会出现错误。
我们看：
fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy=∫104xydy=2x
仔细想想为什么这样？其实过程是：
fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy=∫0−∞0dy+∫104xydy+∫+∞10dy=∫104xydy=2x
同理，
fY(y)=∫+∞−∞f(x,y)dx=∫0−∞0dx+∫104xydx+∫+∞10dx=∫104xydx=2y
很容易看出 f(x,y)=fX(x)fY(y)
即：X,Y相互独立。
也因此可知 X2,Y2 相互独立。
则不妨令 U=X2,V=Y2
f(u,v)=fU(u)fV(v)
F(u,v)=FU(u)FV(v)
到这里可以用两种方法解：
公式法定义法其中公式法我基本不用，导致看到别人用公式法写还莫名其妙，这里先总结定义法，以回答验证开始提的问题。
定义法 F(U,V)=P(U≤u,V≤v)=P(X2≤u,Y2≤v),0<u<1,0<v<1=P(0<X≤u√,0<Y≤v√)=∫u√0dx∫v√04xydy=uv,0<u<1,0<v<1
接着就可以求出边缘分布：
F(u,v)=FU(u)FV(v)=uv
→FU(u)=u,FV(v)=v
因此， fU(u)=1,fV(v)=1
注： 一般 FX(x)=F(x,+∞) ,表示另一个变量取遍所有值，这个在这里如何应用没有看太明白。也即，如果直接代入 F(u,+∞) 求 FU(u)=u⋅+∞ 显然是不正确的，正确的理解应该是，取遍v的所有值，那么也就意味着取v的最大值，即 v→1 ,即： FU(u)=F(u,1)=u 。
这是最准确的解释。
一般课本给出的是x>0,y>0这样，用
FX(x)=F(x,+∞)
FY(x)=F(+∞,y)
是因为x和y最大都能取到无穷大。
我们知道分布函数是累积的，所有，意思还是在于取的最大值。但是因为举的例子不是有限区间，所以导致问题不清。这里恰好是有限区间，特别记录说明。
这在上面求边缘密度函数时也用到过，即，特别注意取无穷大是什么意思，取遍所有取值对于有限区间的具体落实又是怎样的，特别需要小心，因为上下限是什么对结果取值至关重要。
从而：
f(u,v)={1,0,0<u<1,0<v<1其他公式法
首先是看定理：
设随机变量X具有概率密度 fX(x),−∞<x<∞ ,又设函数 g(x) 处处可导且 g′(x)≠0,则Y=g(X) 是连续型随机变量，其概率密度为：
其中， α=min(g(−∞),g(∞)) , β=max(g(−∞),g(∞)) , h(y)是g(x)的反函数。
用到这里来就是：
fU(u)=fX(h(u))|h′(u)|,0<u<1
其中h(u)是 u=x2 的反函数 h(u)=u√ 。
因此： fU(u)=2u√⋅12u√=1,0<u<1
同理可得 fV(v)=1,0<v<1
综合可得：
两种方法可以互为映证。
公式法要求比较严格：单调，可导，导数不为0，反函数存在。