laplace变换例题及答案,laplace变换象函数

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定义：

连续时间傅里叶变换的公式是：

这里的是实数。
傅里叶变换要求时域信号绝对可积，即

为了让不符合这个条件的信号，也能变换到频率域，我们给x(t)乘上一个指数函数，为任意实数。
可以发现，这个函数，就满足了绝对可积的条件，即

关于为什么 满足绝对可积条件，这里提一下，感性地说，我们知道负指数函数随t的增大，趋于零的速度是所有函数中最快的，这也是为什么我们描述某个现象暴涨的时候会说指数上升。因此大多数一般的函数 乘上某个负指数函数之后，一定绝对可积。
用更加严谨的数学表达，对于大多数 ， ，使得 是 的高阶无穷小。即 。因此在 的压迫下， 就满足了绝对可积的条件。

于是这个新函数的傅立叶变换就是：

化简得

显然是一个复数，我们把这个复数定义为一个新的变量——复频率，记为s。
于是便得到了拉普拉斯变换的公式：

所以拉普拉斯变换与连续时间傅里叶变换的关系是：拉普拉斯变换将频率从实数推广为复数，因而傅里叶变换变成了拉普拉斯变换的一个特例。当s为纯虚数时，x(t)的拉普拉斯变换，即为x(t)的傅里叶变换。

传递函数：

对于最简单的连续时间输入信号 x(t), 和输出信号 y(t)来说传递函数 H(s)所反映的就是零状态条件下输入信号的拉普拉斯变换X(s) 与输出信号的拉普拉斯变换 Y(s) 之间的线性映射关系：

系统收敛条件：

传递函数可以分解为以下形式：

Sp为r重极点，Si为一阶极点。

反变换得到系统冲激响应：

当极点在jw左半平面时，系统是稳定的（收敛）。

 

 

系统频率响应：

s=jw,即为系统的傅里叶变换，即为系统的频率响应。频率响应函数可以表示成零极点的形式。

 

波特图：

 

 

 

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