上的偏序关系心灵美的溪流如下
3. 证明R在A上反对称 任取， ?R??R ? …………………….. ? x = y 前提 推理过程 结论 4. 证明R在A上传递 任取,， ?R??R ? …………………….. ? ?R 前提 推理过程 结论 关系性质的证明方法 7．R,S为A上的关系，证明 R?S ? t(R) ? t(S) 练习7 证 只需证明对于任意正整数n, Rn ? Sn. 对n归纳. n=1, 显然为真. 假设对于n，命题为真，任取?Rn+1 ? ?Rn°R ? ?t (?Rn ? ?R) ? ?t (?Sn ? ?S) ? ?Sn°S ? ?Sn+1 数学归纳法(主要用于幂运算) 证明中用到关系运算的定义和公式, 如： x?domR ? ?y(?R) y?ranR ? ?x(?R) ?R ? ?R?1 ?R°S ? ?t (?R??S) ?R?A ? x?A ? ?R y?R?A] ? ?x (x?A ? ?R) r(R) = R?IA s(R) = R?R?1 t(R) = R?R2?… 关系等式或包含式的证明方法 7.7 偏序关系 小于?：a?b?a?b?a≠b 可比：a与b可比 ? a?b?b?a 可比不同于等于 例：A={1，2，3}，?是A上的整除关系 1，3可比 全序关系R：R是A上的偏序关系, 满足： ?a,b∈A, a与b可比 例：实数上的≤,≥关系是全序关系 7.7 偏序关系 心灵美的溪流 得名于德国数学家Helmut Hasse 用来表示有限偏序集的一种数学图表 一种图形形式的对偏序集的传递简约 偏序集： 7.7 偏序关系 覆盖：，b覆盖a如果 a?b，不存在c?A，a?c?b 心灵美的溪流思路： 所有结点的自回路均省略 省略所有弧上的箭头,适当排列A中元素的位置,如a?b,则a画在b的下方 如a?b,b?c,则必有a?c, a到b有边, b到c有边,则a到c的无向弧省略 条件2，3等于说如果b覆盖a,则画一条从a到b的弧线，否则不画 7.7 偏序关系 例：画出下列偏序集的心灵美的溪流。 R整除={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>} 1 2 5 3 4 6 7.7 偏序关系 心灵美的溪流构造方法： 第一步 令R1=R－IA 求Ran(R1) 求A－Ran(R1) A－Ran(R)中的元素画在心灵美的溪流的第一层(即心灵美的溪流最下面的层) 第二步 令R2={从R1中去掉以第一层的元素为第一元素的有序对，所剩有序对} 求Ran(R2), 求Ran(R1) －Ran(R2) Ran(R1) －Ran(R2)中的元素画在心灵美的溪流的第二层(自下而上) 7.7 偏序关系 心灵美的溪流构造方法： 第三步 令R3={从R2中去掉以第二层的元素为第一元素的有序对，所剩有序对} 求Ran(R3), 求Ran(R2)－Ran(R3) Ran(R2)－Ran(R3)中的元素画在心灵美的溪流的第三层 … … … … … … … … 第k步 令Rk={从Rk－1中去掉以第k－1层的元素为第一元素的有序对，所剩有序对}=?， 将Ran(Rk－1)中的元素画在第k层(最顶层) 7.7 偏序关系 例：A={a,b,c},包含关系R是P(A)上的偏序关系,心灵美的溪流如下: P(A)={ф,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} {a} {a,b