假如有这样一种情景,先输入一个长度为n的数组,然后我们有如下两种操作:
输入一个数m,输出数组中下标1~m的前缀和对某个指定下标的数进行值的修改多次执行上述两种操作;
常规方法对于一个的数组,如果需要求1~m的前缀和我们可以将其从下标1开始对m个数进行求和,对于值的修改,我们可以直接通过下标找到要修改的数,然后更新前缀和,对于一次操作显然没什么问题,但对于 n n n次操作,时间复杂度就达到了 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)和 O ( n ) O(n) O(n),这样的方法就显得不适用了。
树状数组
如图,对于一个长度为n的数组,A数组存放的是数组的初始值,引入一个辅助数组C;
C1 = A1
C2 = C1 + A2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = C2 + C3 + A4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = C5 + A6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = C4 + C6 + C7 + A8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
我们称C[i]的值为下标为i的数所管辖的数的和,下标为i的数所管辖的元素的个数为 2 k 2^k 2k个(k为i的二进制的末尾0的个数),例如:
i = 8 = 1000,末尾3个0,故k = 3,所管辖的个数为 2 3 = 8 2^3 = 8 23=8,C8是8个数的和;i = 5 = 0101,末尾没有0,故k = 0,所管辖的个数为 2 0 = 1 2^0 = 1 20=1,C5是一个数的和;而对于输入的数m,我们要求编号为m的数的前缀和 A 1 ⋯ A m A_1cdots A_m A1⋯Am,按照上面说的, s u m m = C i 1 + C i 2 + ⋯ sum_m= C_{i_1} + C_{i_2} + cdots summ=Ci1+Ci2+⋯,这里m和C[i]的对应关系是这样的,对于查询的m,将它转换成二进制后,不断对末尾的1的位置进行-1的操作,直到全部为0停止,中间得到的值就是c[i],例如:
m = 7, s u m 7 = C 7 + C 6 + C 4 sum_7 = C_7 + C_6 + C_4 sum7=C7+C6+C4,7的二进制为0111( C 7 C_7 C7得到),对0111的末尾1的位置-1,得到0110 = 6( C 6 C_6 C6得到),再对0110末尾1位置-1,得到0100 = 4( C 4 C_4 C4得到),最后对0100末尾1位置-1后得到0000(结束),计算停止,至此 C 7 , C 6 , C 4 C_7,C_6,C_4 C7,C6,C4全部得到,求和后就是m = 7时它的前缀和;m = 6, s u m 6 = C 6 + C 4 sum_6 = C_6 + C_4 sum6=C6+C4,6的2进制等于·0110·,经过两次变换后为0100(C4)和0000(结束信号),那么求和后同样也得到了预计的结果;那么求前缀和的代码如下:
int lowbit(int m){ return m & (-m);}int getSum(int m){int ans = 0; while(m > 0){ ans += C[m]; m -= lowbit(m); } return ans;}关于m & (-m)这是一个很巧妙的地方,如13的二进制表示为1101,那么-13的二进制表示为0010 + 0001 = 0011,那么1101 & 0011 = 0001,二进制末尾1的位置是 2 0 2^0 20,将13 - 0001 = 12,再对12执行lowbit操作,1100 & 0100 = 0100,二进制末尾1的位置是 2 2 2^2 22,将12 - 0100 = 8,再对8执行lowbit操作,0100 & 1100 = 0100,二进制位是 2 2 2^2 22,8 - 0100 = 0(结束操作),通过循环得到的13,12,8,则 s u m 13 = C 13 + C 12 + C 8 sum_{13} = C_{13} + C_{12} + C_8 sum13=C13+C12+C8.
建立树状数组对于一个输入的数组A,我们一次读取的过程,就可以想成是一个不断更新值的过程,所以建树与单点更新值是一样的,即把 A 1 ⋯ A n A_1cdots A_n A1⋯An从0更新成我们输入的A[i],所以一边读入A[i],一边将C[i]涉及到的祖先节点值更新,完成输入后树状数组C也就建立成功了。
下面说说如何更新节点值:
假设更新A[2] = 5,通过观察我们得知,如果修改了A[2]的值,那么管辖A[2]的C[2],C[4],C[8]的前缀和都要加上5(所有的祖先节点),那么和查询类似,我们如何得到C2的所有祖先节点呢,依旧是上述的巧妙的方法,但是我们把它倒过来用,对于要更新i位置的值,我们把i转换成二进制,不断对二进制最后一个1的位置+1,直到达到数组下标的最大值n结束,对于给出的例子i = 2,假设数组下标上限n = 8,i转换成二进制后等于0010( C 2 C_2 C2),对末尾1的位置进行+1,得到0100( C 4 C_4 C4),对末尾的1的位置进行+1,得到1000( C 8 C_8 C8),循环结束,对 C 2 , C 4 , C 8 C_2,C_4,C_8 C2,C4,C8的前缀和都要+5,当然不能忘记对A[2]的值+5,单点更新值过程结束。
参考:https://www.cnblogs.com/findview/archive/2019/08/01/11281628.html