样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。本篇介绍力求用容易理解的方式，介绍一下三次样条插值的原理，并附C语言的实现代码。
1. 三次样条曲线原理
假设有以下节点
1.1 定义
样条曲线 是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：
a. 在每个分段区间 （i = 0, 1, …, n-1，x递增）， 都是一个三次多项式。
b. 满足 （i = 0, 1, …, n ）
c. ，导数 ，二阶导数 在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。
所以n个三次多项式分段可以写作：
，i = 0, 1, …, n-1
其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。
1.2 求解
已知:
a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, n
b. 每一分段都是三次多项式函数曲线
c. 节点达到二阶连续
d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界）
根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。
插值和连续性：
, 其中 i = 0, 1, …, n-1
微分连续性：
, 其中 i = 0, 1, …, n-2
样条曲线的微分式：
将步长 带入样条曲线的条件：
a. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出
b. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出
c. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出
由此可得：
d. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出
设 ，则
a. 可写为：
，推出
b. 将ci, di带入 可得：
c. 将bi, ci, di带入 (i = 0, 1, …, n-2)可得：
端点条件
由i的取值范围可知，共有n-1个公式， 但却有n+1个未知量m 。要想求解该方程组，还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。 选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。
a. 自由边界(Natural)
首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即 。具体表示为 和
则要求解的方程组可写为：
b. 固定边界(Clamped)
首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。则可以推出
将上述两个公式带入方程组，新的方程组左侧为
c. 非节点边界(Not-A-Knot)
指定样条曲线的三次微分匹配，即
根据 和 ，则上述条件变为
新的方程组系数矩阵可写为：
右下图可以看出不同的端点边界对样条曲线的影响：
1.3 算法总结
假定有n+1个数据节点
a. 计算步长 (i = 0, 1, …, n-1)
b. 将数据节点和指定的首位端点条件带入矩阵方程
c. 解矩阵方程，求得二次微分值。该矩阵为三对角矩阵，具体求法参见我的上篇文章：三对角矩阵的求解。
d. 计算样条曲线的系数：
其中i = 0, 1, …, n-1
e. 在每个子区间 中，创建方程
2. C语言实现
用C语言写了一个三次样条插值(自然边界)的S-Function，代码如下：
#define S_FUNCTION_NAME cubic#define S_FUNCTION_LEVEL 2#include "simstruc.h"#include "malloc.h" //方便使用变量定义数组大小static void mdlInitializeSizes(SimStruct *S){ /*参数只有一个，是n乘2的定点数组[xi, yi]: * [ x1，y1; * x2, y2; * ..., ...; * xn, yn; */ ssSetNumSFcnParams(S, 1); if (ssGetNumSFcnParams(S) != ssGetSFcnParamsCount(S)) return; ssSetNumContStates(S, 0); ssSetNumDiscStates(S, 0); if (!ssSetNumInputPorts(S, 1)) return; //输入是x ssSetInputPortWidth(S, 0, 1); ssSetInputPortRequiredContiguous(S, 0, true); ssSetInputPortDirectFeedThrough(S, 0, 1); if (!ssSetNumOutputPorts(S, 1)) return; //输出是S(x) ssSetOutputPortWidth(S, 0, 1); ssSetNumSampleTimes(S, 1); ssSetNumRWork(S, 0); ssSetNumIWork(S, 0); ssSetNumPWork(S, 0); ssSetNumModes(S, 0); ssSetNumNonsampledZCs(S, 0); ssSetSimStateCompliance(S, USE_DEFAULT_SIM_STATE); ssSetOptions(S, 0);}static void mdlInitializeSampleTimes(SimStruct *S){ ssSetSampleTime(S, 0, CONTINUOUS_SAMPLE_TIME); ssSetOffsetTime(S, 0, 0.0);}#define MDL_INITIALIZE_CONDITIONS#if defined(MDL_INITIALIZE_CONDITIONS) static void mdlInitializeConditions(SimStruct *S) { }#endif#define MDL_START#if defined(MDL_START) static void mdlStart(SimStruct *S) { }#endif /* MDL_START */static void mdlOutputs(SimStruct *S, int_T tid){ const real_T *map = mxGetPr(ssGetSFcnParam(S,0)); //获取定点数据 const int_T *mapSize = mxGetDimensions(ssGetSFcnParam(S,0)); //定点数组维数 const real_T *x = (const real_T*) ssGetInputPortSignal(S,0); //输入x real_T *y = ssGetOutputPortSignal(S,0); //输出y int_T step = 0; //输入x在定点数中的位置 int_T i; real_T yval; for (i = 0; i < mapSize[0]; i++) { if (x[0] >= map[i] && x[0] < map[i + 1]) { step = i; break; } } cubic_getval(&yval, mapSize, map, x[0], step); y[0] = yval; }//自然边界的三次样条曲线函数void cubic_getval(real_T* y, const int_T* size, const real_T* map, const real_T x, const int_T step){ int_T n = size[0]; //曲线系数 real_T* ai = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1)); real_T* bi = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1)); real_T* ci = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1)); real_T* di = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1)); real_T* h = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1)); //x的?? /* M矩阵的系数 *[B0, C0, ... *[A1, B1, C1, ... *[0, A2, B2, C2, ... *[0, ... An-1, Bn-1] */ real_T* A = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); real_T* B = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); real_T* C = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); real_T* D = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); //等号右边的常数矩阵 real_T* E = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); //M矩阵 real_T* M = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n)); //包含端点的M矩阵 int_T i; //计算x的步长 for ( i = 0; i < n -1; i++) { h[i] = map[i + 1] - map[i]; } //指定系数 for( i = 0; i< n - 3; i++) { A[i] = h[i]; //忽略A[0] B[i] = 2 * (h[i] + h[i+1]); C[i] = h[i+1]; //忽略C(n-1) } //指定常数D for (i = 0; i<n - 3; i++) { D[i] = 6 * ((map[n + i + 2] - map[n + i + 1]) / h[i + 1] - (map[n + i + 1] - map[n + i]) / h[i]); } //求解三对角矩阵，结果赋值给E TDMA(E, n-3, A, B, C, D); M[0] = 0; //自然边界的首端M为0 M[n-1] = 0; //自然边界的末端M为0 for(i=1; i<n-1; i++) { M[i] = E[i-1]; //其它的M值 } //?算三次?条曲?的系数 for( i = 0; i < n-1; i++) { ai[i] = map[n + i]; bi[i] = (map[n + i + 1] - map[n + i]) / h[i] - (2 * h[i] * M[i] + h[i] * M[i + 1]) / 6; ci[i] = M[i] / 2; di[i] = (M[i + 1] - M[i]) / (6 * h[i]); } *y = ai[step] + bi[step]*(x - map[step]) + ci[step] * (x - map[step]) * (x - map[step]) + di[step] * (x - map[step]) * (x - map[step]) * (x - map[step]); free(h); free(A); free(B); free(C); free(D); free(E); free(M); free(ai); free(bi); free(ci); free(di);}void TDMA(real_T* X, const int_T n, real_T* A, real_T* B, real_T* C, real_T* D){ int_T i; real_T tmp; //上三角矩阵 C[0] = C[0] / B[0]; D[0] = D[0] / B[0]; for(i = 1; i<n; i++) { tmp = (B[i] - A[i] * C[i-1]); C[i] = C[i] / tmp; D[i] = (D[i] - A[i] * D[i-1]) / tmp; } //直接求出X的最后一个值 X[n-1] = D[n-1]; //逆向迭代， 求出X for(i = n-2; i>=0; i--) { X[i] = D[i] - C[i] * X[i+1]; }}#define MDL_UPDATE #if defined(MDL_UPDATE) static void mdlUpdate(SimStruct *S, int_T tid) { }#endif#define MDL_DERIVATIVES#if defined(MDL_DERIVATIVES) static void mdlDerivatives(SimStruct *S) { }#endifstatic void mdlTerminate(SimStruct *S){}#ifdef MATLAB_MEX_FILE #include "simulink.c"#else#include "cg_sfun.h"#endif
3. 例子
以y=sin(x)为例, x步长为1，x取值范围是[0,9]。对它使用三次样条插值，插值前后对比如下：