31. 数据包络分析法(DEA)(一)简单介绍数据包络分析法(Data Envelopment Analysis)以相对效率概念为基础，以凸分析和线形规划为工具的一种评价方法，应用数学规划模型计算比较决策单元之间的相对效率，对评价对象做出评价，它能充分考虑对于决策单元本身最优的投入产出方案，因而能够更理想地反映评价对象自身的信息和特点；同时对于评价复杂系统的多投入多产出分析具有独到之处。数据包络分析法的特点：(1)适用于多指标输入—多指标输出的有效性综合评价问题；(2)无须对数据进行无量纲化处理，因为DEA法并不直接对数据进行综合，故决策单元的最优效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关；(3)无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际数据求得最优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客观性；(4)DEA法假定每个输入都关联到一个或者多个输出，且输入输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系的显示表达式。DEA法的应用：DEA法已广泛应用到美国军用飞机的飞行、基地维修与保养，以及陆军征兵、城市、银行等方面；也可以用来研究多种方案之间的相对有效性(例如投资项目评价)；研究在做决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何(例如建立新厂后，新厂相对于已有的一些工厂是否为有效)；DEA模型甚至可以用来进行政策评价。(二)基本原理一、假设有n个部门或决策单元(DMU，具有可比性)，每个决策单元有m个输入变量和s个输出变量。其中，1-n为n个决策单元；为m个输入指标；为s个输出指标。表示第j个决策单元对第i个输入指标的投入量，, 表示第j个决策单元对第r个输出指标的产出量，, 表示输入第i个输入指标的一种度量(权重)， 表示输入第r个输出指标的一种度量(权重)，用向量形式表示：记则分别为第j个决策单元的输入向量、输出向量；u, v分别为输入权重、输出权重。二、C2R模型1. 引例. 考察某种燃烧装置的燃烧比。设YR为给定X个单位煤产生热量的理想值，设Yr为某种燃烧装置燃烧X个单位煤所产生热量的实际值，则燃烧装置的燃烧比(相对评价指数)为：显然有，即.现在用C2R模型的方法推导出上式，考虑优化问题 (2)其中，u, v为使上述约束成立的权重。设是优化问题(2)的最优解，由于，以及得到因此，优化问题的最优解满足其最优目标值为即燃烧装置的燃烧相对评价指数。2. 类似上面的讨论，回到原数据表(1)，设 (3)为第j个决策单元的评价指数。总可以选择适当的权重系数u, v, 使得 (4)这里第j个决策单元的评价指数的意义是：在权重系数u, v下，投入为，产出为的投入产出比。按引例的讨论方式，需要考虑某个决策单元的效率评价指数为目标，在约束(4)下的最大值，即分式线性规划 (5)称为C2R模型。3. C2R模型的求解对模型(5)，做Charnes－Cooper变换：可以转换为等价的线性规划模型： (PC2R) 若线性规划问题(6)的最优目标值，则称决策单元是弱DEA有效的。若线性规划问题(6)存在最优解，并且其最优目标值，则称决策单元是DEA有效的。注：DEA有效，是指该决策单元的投入产出比达到最大，因此可以用DEA来对决策单元进行评价。 利用线性规划的最优解来定义决策单元j0的有效性，从模型可以看出，该决策单元j0的有效性是相对其他所有决策单元而言的。 对于C2R模型可以用规划问题(6)表达，而线性规划一个重要的有效理论是对偶理论，通过建立对偶模型更容易从理论和经济意义上作深入分析：当求解结果有时，则 j0 决策单元非DEA有效；否则，则 j0 决策单元DEA有效。 1952年，Charnes通过引入具有非阿基米德无穷小量ε，成功解决了计算和技术上的困难，建立了具有非阿基米德无穷小量ε的 C2R模型： (D?C2R)注：若对及，都有，则称为非阿基米德无穷小量。对具有非阿基米德无穷小量的C2R对偶模型，可以根据以下规则判断DEA有效性：若θ<1, 则DMUj0不为弱DEA有效；若θ＝1, ，则DMUj0仅为弱DEA有效；若θ＝1, ，则DMUj0为DEA有效；(三)Matlab实现 例1 利用DEA方法对天津市的可持续发展进行评价。选取1990-1999十年的数据，如下表所示：其中，年份为决策单元；财政收入x1, 环保投资x2, 每千人科技人员数x3为输入变量；人均GDP y1, 环境质量指数y2为输出变量。 PC2R模型：load('DEA.mat'); %导入输入指标和输出指标数据X,Y[m,n]=size(X); s=size(Y,1);A=[-X',Y'];b=zeros(n,1);LB=zeros(m+s,1); UB=[];for i=1:n f=[zeros(1,m), -Y(:,i)']; Aeq=[X(:,i)', zer