前面讨论的是命题逻辑和三段论逻辑，命题逻辑的范围局限于那些仅仅依据真值函项联结词的推论，三段论逻辑的范围限于那些仅仅依据量词的推论，而且仅仅限于这类推论的一小部分。而对于那些既依据真值函项联结词又依据量词的推论，命题逻辑和三段论逻辑都不能处理。例如下面一个推论：
[推论1]
任何大学生或者考试及格或者心情烦躁；
有些大学生考试不及格；
所以，有些大学生心情烦躁。
[推论1]是一个有效推论。一方面，它有真值函项联结词”或者“，一方面，它又有量词”任何“，”有些“，因此我们需要发展一种更加全面的逻辑系统，既能处理依据真值函项联结词的推论，又能处理依据量词的推论，而且还能处理既依据真值函项联结词又依据量词的推论。这样的逻辑理论叫做”谓词逻辑“。我们把谓词逻辑所处理的推论叫做”谓词推论“，命题推论是谓词推论的一部分。
一。谓词谓词自然与谓语有联系，相当于谓语，通常，”…是…"，"…做…"，"…有…性质"，“…与…有…关系"等表示事物的性质或者动作或者属性或者关系的短语叫做”谓词“。
例如：
1）武汉大学是综合性大学。
2）武汉大学依山傍水。
3）泰山是雄伟的。
4）庐山是雄伟的。
上面，”…是综合性大学"，"…依山傍水“，"…是雄伟的"，是谓词
而主语”武汉大学“，”泰山“，”庐山“叫做个体词。
我们规定，用小写字母a至w表示个体常项（x,y,z表示个体变项）
用A（…）至Z（…）表示谓词，为大写字母后跟括号，括号内放置个体常项或者变项。
将上面四个命题的符号化：
Z（）：…是综合性大学
S（）：…依山傍水
X（）：…是雄伟的
w：武汉大学
t：泰山
l：庐山
然后写出上面四个命题的符号表达式：
1’） Z（w）
2’） S（w）
3’） X（t）
4’） X（l）
有些谓词表示两个或者多个个体之间的关系。
例如：
5）梁山吧爱碧蓝的发夹
6）武汉在南京和重庆之间
7）武汉与南京之间的距离小于重庆与上海之间的距离
5）的谓词为”…爱…“， 用符号E（，）表示。
6）的谓词为”…在…和…之间“，用符号B（，，）表示。
7）的谓词为”…与…之间的距离小于…与…之间的距离“，用符号R（，，，）表示
个体词表示，
b：文静的彩虹 ，t：碧蓝的发夹
h：武汉，j：南京，q：重庆，s：上海
那么，5），6），7）的符号化表示为：
5’）E（b，t）
6’）B（h，j，q）
7’）R（h，j，q，s）
在三段论逻辑里面我们已经讨论了量词，有两个量词，全称量词和存在量词。
全称量词含义是”所有“，或者“每一”，“任何”，“一切”，符号为 ∀
存在量词含义是“至少有一个”，或者“有”，”有的“，符号表示为∃
例如：
8）所有事物都是方形的
9）有些事物是红色的
对于8），我们用F（）表示谓词“…是方形的”，用x表示事物。"所有"用全称量词∀表示。于是8）的符号化为：
8’） ∀xF（x）
读做：对每一x而言，x是方形的。
对于9），我们用H（）表示谓词“…是红色的”，用x表示事物。"有些"坚强的金鱼称量词∃表示。于是9）的符号化为：
9’） ∃xH（x）
读做：至少有一x使得，x是红色的。
在谓词逻辑中，一个命题里既存在真值函项联结词，又有量词，所以需要涉及到量词的辖域问题。所谓量词的辖域，就是量词的作用范围。
例如：
10）∀x（F（x）→ F（e））
11）∀x F（x）→ F（e）
12）∀x ∃y R（x，y）
量词的辖域分三种情况：
其一：量词后面紧跟一对括号，如例10），量词的辖域为它后面的括号范围。
其二：量词后面跟谓词 ，如例11），量词的辖域为直到后面第一个真值函项联结词。
其三：量词后面跟另一个量词，如例12） ，量词的辖域为它本身包括后面的一个量词的辖域。
量词和真值函项联结词统称为“逻辑词”。
一个命题中最外层的联结词称为“主逻辑词”。
如果一个量词的辖域包括整个命题，那么这个量词就是该命题的主逻辑词，以量词为主逻辑词的命题称作“普遍命题”。普遍命题又分为“全称命题”和”存在命题“。
如果一个命题中至少有一个真值函项联结词未被包含于量词的辖域之内，那么该命题的主逻辑词就是量词辖域之外的真值函项联结词。以真值函项联结词为主逻辑词的命题称为“复合命题”。
谓词逻辑的全部命题就这三类：普遍命题，复合命题，基本命题（原子命题）。
例：
13）∀y K（y）
14）∃z （J（s）∨ H（z）→ Q（z））
15）∃x C（x）∨ ∀y（B（y）→ E（y））
16）B（b）→ G（a）
17）R（m，n）
18）K
以上，13）和14）是普遍命题，
15）和16）是复合命题，
17）和18）是基本命题（原子命题）
如果一个变项出现在量词的辖域内，就叫做这次出现是约束的，否则就是自由的。
表达式举例：
21）∃y （F（y）∧ G（y）） （变项y出现3次，3次都是约束的）
22）∃y F（y）∧ G（y） （变项y出现3次，前2次是约束的，后1次是自由的）
在 表达式 21）中，变项y出现3次，3次都是约束的。所以表达式 21）的y是一个约束变项。
在 表达式 22）中，变项y出现3次，前2次是约束的，后一次是自由的。所以表达式22）的y变项既是一个约束变项又是一个自由变项 。
一个变项在一个公式中可以既是约束的又是自由的。
23）∀z （I（z）→ H（z，x）） （z出现3次都是约束的，x出现1次是自由的）
24）∃y J（y）∨ ∀x K（b，x） （y出现2次都是约束的，x出现2次也都是约束的）
25）∀x L（x，y）↔ ∀y L（y，x）（y出现2词都是约束的，x出现3次，前面2次是约束的，后面1次是自由的）
至少含有一个自由变项的公式叫做开语句。
开语句的一个重要特征是没有确定的真值。因而开语句不表达命题。
要想让开语句表达一个命题，有两种方法，一是“示例”，二是“概括”
示例例如：
26） G（x）
G代表谓词"…在中国“，读做"x在中国"。其中x是一个自由变项。
26）的真假取决于自由变项x，如果用”北京“替换x，那么得到一个真命题。如果用”东京“替换x，得到一个假命题。所以 26）表达式没有确定的真值，26）不是任何命题。
如果用个体常项替换一个开语句的所有个体变项，那么便得到一个命题。
如果用b代表”北京“，c代表”东京“。G（b）是一个真命题。G（c）是一个假命题。
用一个个体常项替换开语句中的一个个体变项的每一次出现，称为对这个开语句的一次“示例”。一次示例的结果叫做一个”替换例子“
示例举例：
27） J（x，y）
J代表2目谓词”…见过…"。
我们用 d 代表“亚里士多德”，b 代表“柏拉图”，h代表“黑格尔”。
我们用 d 对x 进行示例，用 b 对 y进行示例，得到 J（d，b），读作“亚里士多德见过柏拉图”，这是一个真命题。
如果用 d 对x 进行示例，用 h 对 y进行示例，得到 J（d，h），读作“亚里士多德见过黑格尔”，这是一个假命题。
概括就是在开语句前面加上一个量词，该量词所含的变项与这个开语句所含的一个自由变项相同，并且该量词的辖域包括整个公式。
用全称量词概括叫做“全称概括”，用存在量词进行概括叫做“存在概括”
还是以例 26）为例。
例如：
26） G（x）
G代表谓词"…在中国“，读做"x在中国"。其中x是一个自由变项。
如果对26）做全称概括，结果是：
26’） ∀xG（x）
对x进行全称概括，读作：对每一个x而言，x在中国“。断定一切个体在中国，显然是一个假命题。
如果对26）做存在概括，结果是：
26’） ∃xG（x）
对x进行存在概括，读作：至少有一x使得，x在中国“。断定有个体在中国，显然是一个真命题。
以例 27）为例。
27） J（x，y）
J代表2目谓词”…见过…"。
27）含有两个自由变项，要把27）变成一个命题，需要进行两次概括。
如果对27）做全称概括，结果是：
27） ∀x∀y J（x，y）
对x和y都进行全称概括，读作：对每一个x和每一个y而言，x见过y“。断定任何两个个体都见过，显然是一个假命题。
如果对27）做存在概括，结果是：
27） ∃x∃y J（x，y）
对x和y都进行存在概括，读作：至少有一x和至少有一y使得 ，x见过y“。断定有些个体之间曾经见过，显然是一个真命题。
还可以对27）进行一个全称概括，一次存在概括。
总之，开语句不表达任何命题，从一个开语句得到一个命题只有两种方法：“示例"和"概括”
开语句和符号化了的命题统称为”公式“
《自然演绎逻辑导论》 bmdxrz