检错与纠错码在计算机中经常被使用，在此对常用的三种检错纠错码做一个介绍，分别是奇偶校验码，CRC循环冗余校验码和海明码。
奇偶校验码通常所说的奇偶校验码指的是一维奇偶校验码，它只能检错，不能纠错；只有二维奇偶校验码具备纠错能力。
校验方法：分为奇校验和偶校验，默认是校验所传输数据中’1’的个数是奇数还是偶数。
当约定为奇校验时，当所传输数据中’1’的个数为奇数，便在数据后面添加’0’；当所传输数据中’1’的个数为偶数，便在数据后面添加’1’，使1的个数满足奇数个。当约定为偶校验时，类似。后面的附加位选择是用来控制数据中’1’的个数，使其满足校验规则（奇数个或是偶数个）。
判断是否出错？当约定为奇校验时，如果接收方收到的数据中’1’的个数为奇数时，则认为未出错，否则发生错误。偶校验时类似。
例如：对待传输数据10110110约定采用奇校验时，发送方所需要发送的校验码为101101100，对于接收方来说，如果接收到的数据中’1’的个数不为奇数时，就会认为数据出错。
特点：接收方不会知道是数据的哪一处发生错误；只能检测奇数个位出现错误的情形，不能检验偶数个位发生错误；开销小，常用来校验1字节长的数据（只有1位出现错误的可能性大）。
CRC循环冗余校验码循环冗余校验可以发现并纠正信息在传输过程中所出现的错误。
由于后面计算的需要，先引入模2运算的计算方法，它也可以看作为异或运算。
模2加法-按位加，不考虑进位：0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=0。模2减法-按位减，不考虑借位：0-0=0；0-1=1；1-0=1；1-1=0。可以看出模2加法与减法的运算结果相同，故一律采用模2加法来运算。模2乘法-按照模2加法求部分积之和，不考虑进位。模2除法-按照模2减法求部分余数，不借位。余数的位数应该为除数的位数减一。
生成多项式：G(x)的选用需要满足合适的条件：1，任何一位发生错误，都应该使余数不为0；2，不同位发生错误应使余数不同；3，对余数继续做模2除，应使余数循环。当然，在实际中只需查找资料来选用我们需要的生成多项式即可。
常用的3阶4位生成多项式G(x)为x³+x+1,转换成二进制为1011。
校验方法：将所给的k位生成多项式看作为除数（提示：被除数/除数=商），将所传输的数据左移k-1位，除以生成多项式得到一个k-1位的余数。再将左移过的所传输数据与所得的余数相加，相加的结果就为CRC码。CRC码左边的k-1位称为校验位，其余称为有效信息位。
判断是否出错？如果接收方收到的数据除以G(x)的余数为0(即能被G(x)整除)，则认为未出错，如果不能被整除，则认为在传输过程中发生错误，并由所得的余数指出哪一位出错，从而进行纠正。
例如：若有效信息为1100，用生成多项式G(x)=1011将其编成CRC码的过程如下。
首先发现G(x)为4位，从而将有效信息1100左移3位，得1100000，再用它除生成多项式，即1100000/1011=1110…010,所得余数010与被除数1100000相加，得1100010，这便是我们所求得的CRC码。
其中关于模2除法如下图：
关于接收方的出错模式如下（其中G(x)=1011 ）：
如果CRC码中有一位出错，就会得到一个不为0的余数。如果将余数左移一位继续除下去，会发现各次所得余数将按照上表所示的顺序循环。例如位置0出错，余数为001，将其左移得到0010，再除以G(x)得余数010，左移得到0100，除以G(x)得余数100…反复循环，这便是“循环码”名称的由来。
对于不同的二进制数来讲，
如果我们所选的生成多项式不变，那么所得的余数与出错位置的对应关系也不会
变。
即如果有效信息为1001时，它通过G(x)=1011所得到的CRC码为1001110，对于接收方来讲，如果第0位出错，余数依然为001，第1位出错，余数依然为100…
4位的生成多项式最多可传输多少位有效信息当生成多项式为1011(4位，最高次幂为3），校验位为3位时，所得余数的位数也只能为3，它可能会出现2^3=8种不同的排列结果，其中去掉传输成功时的余数000，还剩余7种不同的结果，它刚好可以对应传输数据种7种不同位的出错可能(4个有效信息位和3个校验位)。如上例的4位有效信息1100，这也是采用4位生成多项式为1011所能传输的最大有效信息位。
如果当有效信息为5位时，生成多项式仍为1011，所得CRC码为8位，而3个校验位最多只能检测出7种不同位的错误，需要增加校验位，即需要采用更高阶的生成多项式。
结论:4位的生成多项式最多可传输4位有效信息
特点：纠正1位错误；检验1位或2位错误；检验所有奇数位错误；检验低于16位的突发性错误；对高于16位的突发性错误的检测成功率高达99.9%。
海明码引入：如果对n位数据增加k位检测位，使得通过检测位可以发现并纠正错误。那么n与k之间需满足的关系是 2^k≥n+k+1。
这个不等式与CRC码最后问题所得到的结论是相同的，当k为3时，2的3次方为8，故所取的数据位数n最大为4，在此不做赘述。唯一的区别是海明码的校验位是分散在有效信息位中的。通过不等式2^k≥n+k+1所得到的代码长度与检测位的关系如下：
关于汉明码的编码方法，在这里就不列举公式了(公式很长)。下面通过举例来说明海明码的构造和检错方法：
例：在海明校验中采用偶校验，对有效信息01001101进行海明编码。
首先，有效信息位个数n=8，通过上面的不等式得出校验位的个数应该为4，所以海明码应该为8+4=12位。列表如下
其中4个校验位分别位于编号为‘8’ ‘4‘ ‘2’ ’1‘处，如果有更多的校验位，编号可以继续取’16‘ ’32‘ ’64‘…；8位有效信息码依次填入其余编号处，至此第一步完成。
然后通过下面12个等式，用校验位编号表示出海明码所有的编号‘1’-‘12’
右边含有编号为’1’的校验位有’3’，‘5’，‘7’，‘9’，‘11’。对这5位上的内容做偶校验，可得’1‘校验位的内容应该为1，从而使得编号‘1’，‘3’，‘5’，‘7’，‘9’，'11’中的数据满足偶校验。可认为这5位中的数据是由‘1’校验位来负责。
内容010011011编号121110987654321
右边含有编号为‘2’的校验位有‘3’，‘6’，‘7’，‘10’，‘11’。对这5位上的内容做偶校验，可得‘2’校验位的内容应该为0，从而使得编号‘2’，‘3’，‘6’，‘7’，‘10’，‘11’中的数据满足偶校验。可认为这5位中的数据是由‘2’校验位来负责。
内容0100110101编号121110987654321右边含有编号为‘4’的校验位有‘5’，‘6’，‘7’，‘12’。对这4位上的内容做偶校验，可得‘4’校验位的内容应该为0，从而使得编号‘4’，‘5’，‘6’，‘7’，‘12’中的数据满足偶校验。可认为这4位中的数据是由‘4’校验位来负责。
内容01001100101编号121110987654321右边含有编号为‘8’的校验位有‘9’，‘10’，‘11’，‘12’。对这4位上的内容做偶校验，可得‘8’校验位的内容应该为1，从而使得编号‘8’，‘9’，‘10’，‘11’，‘12’中的数据满足偶校验。可认为这4位中的数据是由‘8’校验位来负责。
内容010011100101编号121110987654321由此就得到在满足偶校验下的对应于信息01001101的海明编码为010011100101.
对上面的海明码，如果编号‘6’中的数据出错，接收方如何知道是数据种的哪一位出错呢？
接收方所得到的编码如下：
检错：
对于校验位‘1’，由于是偶校验，而‘1’所负责的编号‘1’，‘3’，‘5’，‘7’，‘9’，'11’中的数据满足101011偶校验，正常。
对于校验位‘2’，由于是偶校验，而‘2’所负责的编号‘2’，‘3’，‘6’，‘7’，‘10’，‘11’中的数据101010不满足偶校验，故‘2’所负责的几位中有一位出错。
对于校验位‘4’，由于是偶校验，而‘4’所负责的编号‘4’，‘5’，‘6’，‘7’，‘12’中的数据01000不满足偶校验，故‘4’所负责的几位中有一位出错。
对于校验位‘8’，由于是偶校验，而‘8’所负责的编号‘8’，‘9’，‘10’，‘11’，‘12’中的数据01001满足偶校验，正常。
据此可得，发生错误的位置编号为4+2=6，即编号‘6’处数据发生错误，从而进行改正。
特点：可以检测出2位错误，纠正1位错误。