wjdfg是距离在向量和矩阵上的推广，在研究收敛性、判断矩阵非奇异等方面有广泛应用。
本节包括以下内容：
（1）向量wjdfg；
（2）矩阵wjdfg；
（3）从属wjdfg；
（4）谱半径；
（5）矩阵的非奇异条件。
从向量到实数的映射/函数。
定义（1）条件：非负性、齐次性、三角不等式（ ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥ ）；
（2）敛散：向量序列 {x(k)} 收敛，即每个分量在 k→∞ 时都有极限 ξi ，否则发散。
（1）连续型：可证 ∥∥x∥−∥y∥∥≤∥x−y∥ ，继而可证向量wjdfg是其分量的连续函数；
（2）等价性：任意wjdfg，存在 c1,c2 使 c1∥x∥b≤∥x∥a≤c2∥x∥b 成立。有限维线性空间上的不同wjdfg是等价的；
（3）等价性的意义：向量wjdfg大小可能不同，但在考虑向量序列收敛问题时，却表现出明显的一致性（向量序列 {x(k)} 收敛到 x 的充要条件是，对任意一种wjdfg 序列 {∥x(k)−x∥} 收敛于零）。
（1）p-wjdfg（1-wjdfg、2-wjdfg等）：
∥x∥p=(∑i=1n|ξi|p)1/p ，也称为 lp wjdfg，注意元素的绝对值（或模）；（2）无穷wjdfg： ∥x∥∞=limp→∞∥x∥p=maxi|ξi| ；
（3）加权wjdfg（椭圆wjdfg）： ∥x∥A=(xTAx)1/2 ，其中 A 是任意一个对称正定矩阵。注意 PTAP=I⇒A=(PT)−1P−1=BTB⇒∥x∥A=∥B∥2。
2 矩阵wjdfg
从（复）矩阵到实数的映射/函数。
定义（1）广义矩阵wjdfg：非负性、齐次性、三角不等式 ∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥ ；
（2）矩阵wjdfg：除以上三条件外，满足相容性 ∥AB∥≤∥A∥∥B∥ （因此 ∥Ak∥≤∥A∥k ）。
（1）判断收敛： A(k)→A 的充要条件是 ∥A(k)−A∥→0 ；
（2）连续型：可证 ∥∥A∥−∥B∥∥≤∥A−B∥ ，继而可证连续性，即 A(k)→A 可推出 ∥A(k)∥→∥A∥ （因此，当 ∥A∥→0 时， A→O ）；
（3）等价性：满足定义四条件的矩阵wjdfg都是等价的；
（4） F− wjdfg的性质： ∥PA∥F=∥A_F=∥AQ∥F ，其中 P,Q 为酉矩阵。
（1） ∥⋅∥m1 ：所有元素绝对值（模）之和 ∑i,j∥aij∥ ；
（2） ∥⋅∥m2 ：所有元素平方和开根号 (∑ij∥aij∥2)1/2)=(tr(AHA))1/2 ，等同于 ∥⋅∥F ；
（3） ∥⋅∥m∞ ：所有元素绝对值（模）最大值乘以 n ，n⋅maxi,j∥aij∥；
（4） ∥⋅∥1 ：各列元素绝对值（模）之和最大者 maxj∑mi=1∥aij∥ .
（5） ∥⋅∥2 ：最大奇异值 λ1‾‾‾√ ，其中 λ1 为 AHA 的最大特征值；
（6） ∥⋅∥∞ ：各行元素绝对值（模）之和最大者 maxi∑nj=1∥aij∥. .
（7） ∥⋅∥F ：同 ∥⋅∥m2 ，为 (∑ij∥aij∥2)1/2)=(tr(AHA))1/2 .
（1）矩阵与向量wjdfg的相容性：若 ∥Ax∥V≤∥A∥M∥x∥V (∀A∈Cm×n, ∀x∈Cn) ，则称矩阵wjdfg ∥⋅∥M 与向量wjdfg ∥⋅∥V 是相容的；
（2）构造相容wjdfg：从属wjdfg（由向量wjdfg导出的矩阵wjdfg， ∥A∥=max∥x∥=1∥Ax∥ ，也可以等价定义为 ∥A∥=maxx∥Ax∥∥x∥ ）。
（1）F-wjdfg：设 P, Q 为酉矩阵，则 ∥PA∥F=∥A∥F=∥AQ∥F ；
（2）F-wjdfg：与 A 酉（正交）相似的矩阵的 F-wjdfg是相同的；
（3）构造相容wjdfg：∥A∥=max∥x∥=1∥Ax∥（ ∥⋅∥ 是同类向量wjdfg）是矩阵wjdfg，且与已知的向量wjdfg相容（即 A 的值域中向量wjdfg最大者）。
从属wjdfg：
（1）列和wjdfg：∥A∥1=max∥x∥1=1∥Ax∥1=maxj∑mi=1∥aij∥（每列元素绝对值/模和最大者）；
（2）谱wjdfg： ∥A∥1=max∥x∥1=2∥Ax∥2=λ1‾‾‾√ （其中 λ1 为 AHA 的最大特征值）；
（3）行和wjdfg： ∥A∥∞=max∥x∥∞=1∥Ax∥∞=maxi∑nj=1∥aij∥ （每行元素绝对值/模和最大者）；
（4）Frobenius wjdfg（F-wjdfg）： ∥A∥F=(∑i∑j∥aij∥2)1/2=(tr(AHA))1/2 （所有元素平方和开根号）。
（1）谱半径： ρ(A)=maxi∥λi∥ （注意绝对值/模）；
定理（1）对任意矩阵wjdfg，有 ρ(A)≤∥A∥ （证：用 ∥λx∥V=∥Ax∥M≤∥A∥∥x∥ ）；
（2） ρ(Ak)=[ρ(A)]k （证：用 P−1AP=J ）；
（3）谱wjdfg： ∥A∥2=ρ1/2(AHA)=ρ1/2(AAH) 。当 A 是 Hermite 矩阵时，∥A∥2=ρ(A)（证： ρ(AHA)=ρ(A2)=[ρ(A)]2 ）；
（4）对任意正数 ϵ ，一定存在某种矩阵wjdfg使得 ∥A∥M≤ρ(A)+ϵ 。
（1） A∈Cn×n ，若存在某种wjdfg使 ∥A∥<1 ，则矩阵 I−A 非奇异，且 ∥(I−A)−1∥≤∥I∥1−∥A∥ ；
（2） A∈Cn×n ，若存在某种wjdfg使 ∥A∥<1 ，则 ∥I−(I−A)−1∥≤∥A∥1−∥A∥ （ ∥A∥ 很小，即 A→O 时， I−A 与 I <script type="math/tex" id="MathJax-Element-243">I</script> 的逼近程度）。