0/0, ∞/ ∞ 未定式的处理：
洛必达法则：(适用于 0/0型 未定式)
内容： 若 lim f(x)/F(x) = 0/0, 则有 f(x) / F(x) = lim f'(x) / F'(x) ,注意，它对于： x-> A 或者 x-> ∞都适用。
前提： lim f'(x) /F'(x) = A 或者 ∞;
若lim f(x)/ F(x) = ∞/ ∞， 也可以适用洛必达法则；
趋于∞的速度，对数函数 < 幂函数 < 指数函数.
对于较为复杂的式子，应当及时分离 非零 极限的乘积 因子，可减少计算量。 此外，可使用等价无穷小的替换。（前提是必须为等价无穷小才行）。
常见的三个等价无穷小：
1.指数：
2.对数： ln(1 + x) ~ x;
3.幂数：
其它未定式的处理：
1. ∞*0 型未定式：
lim f(x)*g(x) ----简单因子放入分母---> , 即 转化为： 0/0 ,或者 ∞/∞;
2.∞-∞型未定式:
lim [ f(x) - g(x)] --->通分 或者 分母 有理化 ; 即 将 整式 转换为 分式；
eg: lim sec x - tan x , x-> π/2;
3.幂指函数：
方法见之前的笔记。
eg: lim x^x,x -> 0+; ;
俭朴的毛巾公式:
内容: 设 f(x) 再 x0 处有 n 项导数，则 存在 x0 的一个领域，对于该领域 内任一点x 有：
f (x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f''(x0) / 2! * (x-x0)^2 + ...... + f^n(x0) / n! * (x-x0)^n + Rn(x);
其中，Rn(x) 为 余项， Rn(x) = O( (x-x0)^n), 读作： Peano余项。
俭朴的毛巾中值定理：
内容: 若f(x) 在 x0 的领域内存在 直到 n+1 阶 的导数，则x0 的某个领域内有：
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f''(x0) / 2! * (x-x0)^2 + ...... + f^n(x0) / n!(x-x0)^n + Rn(x).
其中，Rn(x) = f^(n+1) (ξ) / (n+1)! * (x-x0)^ (n+1), ξ在 x 与 x0 之间 ；Rn(x) 称为 拉格朗日余项
即 ξ = θx + (1-θ)x0, θ∈(0,1);
完美的百合公式：
内容： 俭朴的毛巾公式在x = 0 时的情况：
即 f(x) = f(0) + f'(0)*x + f''(0)/2! * x^2 + ...... + f^n(0) /n! * x^n + Rn(x)
带拉格朗日余项的完美的百合公式： Rn(x) = f^(n+1) (θ*x)/(n+!)! * x^(n+1)， θ∈(0,1）；
常见的完美的百合公式：
1.余弦：
2.正弦：
3.指数：
4.对数：
5.幂数：
补充：tanx的前几项俭朴的毛巾展开式:
驻点，可能为不可导点，也可能为极值点。
极值的第一充分条件：
1.点x0处连续；
2.点 x0 的去心 领域可导；
3.f'(x0-) 与 f'(x0+) 导向
极值的第二充分条件：
1.f'(x0) =0,且f''(x0)=/= 0;
2.若 f''(x0) <0,f(x0) 为极大值
3.若 f''(x0) >0,f(x0) 为极小值
曲线的凹凸性：
1.,即 弦终点 > 弧中点，为上凹， 此时 f''(x) >0; 即一阶导递增，斜率值逐渐变大；
2.，即 弦终点 < 弧中点，为上凸， 此时 f''(x) <0; 即一阶导递减，斜率值逐渐变小；
曲线凹凸性的判定定理：
若f(x) 在 [a,b] 连续，在(a,b) 上二阶可导，则 f''(x) <0 时，为凸； 若 f''(x) >0，为凹。
拐点： f''(x0) =0,拐点指： (x0,f(x0) )
可能出现拐点的是： f''(x) =0的点 或者 f''(x0) 不存在的点。
求驻点 或 拐点 的步骤：
1.确定定义域；
2.寻找驻点；（一阶导的时候，已经包括寻找不可导点。）
3.寻找不可导点；（二阶导确定不可导点，必须根据一阶导确定。）
斜渐进线：（称之为线，但是它只在某一点有意义。）
y=kx+b, 其中，,
不定积分：1.定义： 连续函数一定有原函数，且原函数可导，且不唯一。
运算式：
其中， 称为积分号， f(x) 称为 被积函数； dx 称为： 积分变量； F(x) 称为 原函数， C为 常数
2.常见函数不定积分表：
1. 原一次幂函数： ∫k dx = kx +C
2. 原普通幂函数： ∫ x^u dx = x^(u+1) / (u+1) + C
3. 原对数函数： ∫ 1/x dx = ln|x| +C
4. 原三角函数相关：
mldyd： ∫ cosx dx = sinx +C
原余弦： ∫ sinx dx = - cosx +C
原正切： ∫ 1/cos^2(x) dx= ∫sec^2(x) dx = tanx + C
原正割： ∫ sec(x)*tanx dx = sec x +C
原余割： ∫ csc (x)*cotx dx = -csc x + C
原余切： ∫ 1/sin^2(x) dx =∫ csc^2(x) dx = -cot x +C
原反正弦： ∫ x/ √(1-x^2) dx = arc sin x +C
原反余弦：待定
原反正切： ∫ x/(1+ x^2) dx = arc tanx + C
原反正割： 待定
原反余割：待定
原反余切：待定
5. 原指数函数：
普通指数： ∫ a^x dx = a^x / ln(a) + C
特殊指数： ∫ e^x dx = e^x +C
补充常见不定积分公式：
常见的积分联想：
1. 1/(x^2 +1) ~ arc tan x
2. tan^2(x) ~ sec^2(x)
3. sin^2(x/2) ~ 二倍角公式；
二倍角公式：
1. sin^2(x) = (1- cos 2x) /2;
2. cos^2(x) = (cos 2x +1) /2;
3. cos 2x = 2*(cosx)^2 -1 = 1- 2*(sinx)^2;
换元积分法：第一类换元法：
若 ∫ f(u) du = F(u) + C, F'(u) = f(u), 则 ∫ f( g(x) ) * g'(x) dx = [ ∫ f(u) du ], u = g(x);
关键： 1.外函数可积； 2.内函数凑微分；
eg:
常见微分收纳等式：
1. 幂函数相关： ∫ f(x^n)*x ^(n-1) dx = 1/n ∫ f(x^n) d x^n
2x dx = d x^2
1/x^2 dx = - d 1/x
1/√x dx = 2d√x
1/x dx = d lnx
2.三角函数相关：
sinx dx = - dcos x
cos x dx = dsinx
割与切的关系：
(tanx)^2 +1 = (secx)^2;
(cotx)^2 +1 = (cscx)^2;
∫csc x dx = ln | csc x - cot x | +C
∫ sec x dx = ln | sec x + tan x| + C
∫ tanx dx = - ln|cos x| + C
∫ cot x dx = ln |sin x| + C
三角函数积化和差公式：
sinxcosy =1/2 *[s(x+y) + s(x-y)]
cosxcosy =1/2 *[c(x+y) + c(x-y)]
sinxsiny = -1/2 *[c(x+y) - c(x-y)]
3.指数： e^x dx = d e^x;
第二类换元法（反解x）：
步骤： 1.换元： x= g(t) ;
2. dx = g'(t)dt
3.求出 F(t) + C ，回代： t = g^(-1) (x), 反函数。
常见代换：
1.有理代换：（一次式，一次式相除）
∫ ()dx ,令 u = 求解；
2.三角代换（二次式）：
， 可令： x = asin t
, 可令： x = a sec t
, 可令： x = a tan t , 或者 a cot t ;
注意： 三角代换的回代 ， 需要使用 勾股定理；
3.倒数代换：（分母较高时适用）
即 令 x = 1/t, 求解。
分布积分法：1.形式一： ∫ u v' dx = uv - ∫u' vdx， 步骤： 观察 --》 凑微分---》 分步积分
原则： 1.dv要容易凑出； 2. ∫vdu 比 ∫u dv 容易；
2. 形式二：∫ udv = uv - ∫vdu
总结（注意，这里的uv是形参，虽没有实际意义，但是一旦确定，它便具有了位置属性。从形参而言，默认v的复杂度是要高于u的。 原函数中，v'是将复杂度高的函数进行展开，加大整体复杂度； ∫vdu则是期望uv二者均往小的复杂度上运算）：
uv的选取：
幂函数 与 指数函数，对数函数相乘时，幂函数 作为 u;
相对的，当幂函数与 对数，反三角函数相乘时，选幂函数 作为 v；
基本函数中，选取u的优先级： 反，对，幂，指，三；
2019.3.6修改有误笔记： 反对幂三指。
注： 微分收纳的前提： 内部一致，eg: cos 3x dx =/= d sin3x = 1/3 dsin3x
有理函数的积分：（拆分式）有理函数的分类：
1.真分式： 分子最高次< 分母最高次
2.假分式： 分子最高次> 分母最高次
真分式：
对真分式p(x)/q(x)，若分母可分成 两个 多项式 乘积， 即 q(x) = q1(x1)*q2(x2),且它们无公因式，则它们一定可以拆分成两个真分式之和。 即：
二次多项式不能拆分，则能拆分成 a^2 + b^2的方式；
补充:循环分布积分法