【高数】多元函数求极值和最值有什么不同？ 一、起因二、概念理解三、问题思考四、解题五、小结
一、起因
在做某道题时，多元函数函数在有界闭区域内连续，求最值。
当时有诸多疑惑：
无条件极值的判定及求法：
注意：（1）成立前提是偏导数均存在，也就是可微函数的极值点处的偏导值为0。如果不可导，那么不适用此定理。
（2）对 x 和 y 的偏导数均为0的点称为驻点。该定理表示，注意后面这个定语！具有偏导数的函数的极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点。
（3）如果某点对 x 和 y 不可导（至少对其一不可导），那么该点也可能是极值点。类似一元函数，不可导处可能是极值点。
如何判定不可导处的点是否真的是极值点？→定义法
（4）对于可微函数，极值点的偏导数必为0，因此可从之求得可疑极值点，但如何判定真的是极值点？→充分条件或定义法。
充分条件用于对偏导数为0的可疑极值点的进一步判定，使用条件是有一阶且二阶连续偏导数（一般可以写出函数式的初等函数，均满足此条件）。当出现(3)的无法判断状态时，转为定义法判断。
方法总结：
多元函数，无条件极值，先看定义域内是否可微。
最值：函数的最大值、最小值，即一些可疑值比较后取得。 三、问题思考 二者的区别： （对于任何函数）极值点可疑点：驻点、偏导数不存在处（对于可微函数）极值点可疑点：驻点（对于有界闭区域上的连续可微函数）最值点可疑点：内部驻点、边界最值点（条件极值点/驻点及端点）
求最值时，为什么不需要确认，极值可疑点是极值点？
什么情况下，极值就一定是最值？
首先，需要满足以下条件（一般题目都满足）。书中给出的①是有界闭区域D，不过其实这里的D可以是无界区域或无界闭区域，如下面例子是开区域，不过，题意决定了存在最值，且能在D内取得。
但是！也有一些无界区域D出现了内部唯一极值不等于最值的情况，这里有一篇文章讲解的很清楚（虽然考试无需思考此问题，但有助于理解方法）。
指路链接：《二元函数一个值得注意的问题》https://wenku.baidu.com/view/56a753f89ec3d5bbfd0a74e4.html
实际情况中，比如制作一个体积为20m^3（图中有误）的水箱 ，长宽高为多少用料最少？可设出长宽x、y，高为20/xy。由题意，水箱的最小用料面积一定存在（不然怎么求），且一定在开区域D内取得，所以唯一极值就是最值！！！
---- 当题目条件有可微函数时，偏导数存在，或是由可以写出的函数表达式看出其可偏导，因此不用求导数不存在的点。 拉格朗日乘数法求得的条件极值，怎么判断是极大值极小值？
---- 一般由实际问题性质决定！让你求，你就求，一定可求！ 什么时候需要判断极大值极小值，什么时候直接计算函数值比较而得出最值？
问极大值点、极小值点分别是什么，则需判断；求最值，则重点在最值，而不用判是否为极值点。 五、小结 多元函数，无条件极值： 定义域内是否可微。不可微，则对偏导数不存在处，用定义法判。可微，偏导数为0，求极值可疑点。再用二阶偏导的值判断，若无法判定则回到定义法。 条件极值： 可变量替换，转化为无条件极值。不易替换，则拉格朗日乘数法求可疑极值点，常由实际问题的性质判是否真的为极值（一般都是）。 最值点： 比较各可疑点的函数值得出。（对于有界闭区域上的连续可微函数）最值点可疑点：内部驻点、边界最值点（条件极值点及端点）