图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外，还有其他一些有用的正交变换,其中离散余弦就是一种。离散余弦变换表示为DCT( Discrete Cosine Transformation)，常用于图像处理和图像识别等。
一维离散余弦变换 正变换
(1)
(2)
式中F(u)是第u个余弦变换系数，u是广义频率变量,u=1,2,3......N-1; f(x)是时域N点序列, x=0,1,2......N-1
反变换（3）
显然，式(1)式(2)和式(3)构成了一维离散余弦变换对。
二维离散余弦变换正变换
（4）
式(4)是正变换公式。其中f(x,y)是空间域二维向量之元素， x,y=0,1,2,......N-1；F(u,v)是变换系数阵列之元素。式中表示的阵列为N×N
反变换（5）
式中的符号意义同正变换式一样。式(4)和式(5)是离散余弦变换的解析式定义。
矩阵表示法更为简洁的定义方法是采用矩阵式定义。根据以上公式定义可知，离散余弦变换的系数矩阵可以写成如下：
如果令N＝4，那么由一维解析式定义可得如下展开式。
写成矩阵式
若定义F(u)为变换矩阵，A为变换系数矩阵，f(x)为时域数据矩阵，则一维离散余弦变换的矩阵定义式可写成如下形式
[F(u)]=[A][f(x)] （6）
同理，可得到反变换展开式
写成矩阵式即
[f(x)]=[A]T[F(u)] （7）
二维离散余弦变换也可以写成矩阵式：
[F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]T （8）
[f(x,y)]=[A]T[F(u,v)][A]
式中[f(x,y)]是空间数据阵列，A是变换系数阵列，[F(u,v)]是变换矩阵，[A]T是[A]的转置。
对二维图像进行离散余弦变换由以上对二维离散余弦变换的定义及公式（7）可知，求二维图像的离散余弦变换要进行以下步骤：
1.获得图像的二维数据矩阵f(x,y)；
2.求离散余弦变换的系数矩阵[A]；
3.求系数矩阵对应的转置矩阵[A]T；
4.根据公式（7）[F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]T 计算离散余弦变换；
源代码： package cn.edu.jxau.image;import java.awt.image.BufferedImage;/** * 图像的变换 * @author luoweifu * */public class Transformation {/** * 要进行DCT变换的图片的宽或高 */public static final int N = 256;/** * 傅里叶变换 * @return */public int[] FFT() {return null;}/** * 离散余弦变换 * @param pix 原图像的数据矩阵 * @param n 原图像(n*n)的高或宽 * @return 变换后的矩阵数组 */public int[] DCT(int[] pix, int n) {double[][] iMatrix = new double[n][n]; for(int i=0; i<n; i++) {for(int j=0; j<n; j++) {iMatrix[i][j] = (double)(pix[i*n + j]);}}double[][] quotient = coefficient(n);//求系数矩阵double[][] quotientT = transposingMatrix(quotient, n);//转置系数矩阵double[][] temp = new double[n][n];temp = matrixMultiply(quotient, iMatrix, n);iMatrix = matrixMultiply(temp, quotientT, n);int newpix[] = new int[n*n];for(int i=0; i<n; i++) {for(int j=0; j<n; j++) {newpix[i*n + j] = (int)iMatrix[i][j];}}return newpix;}/** * 矩阵转置 * @param matrix 原矩阵 * @param n 矩阵(n*n)的高或宽 * @return 转置后的矩阵 */private double[][] transposingMatrix(double[][] matrix, int n) {double nMatrix[][] = new double[n][n];for(int i=0; i<n; i++) {for(int j=0; j<n; j++) {nMatrix[i][j] = matrix[j][i];}}return nMatrix;}/** * 求离散余弦变换的系数矩阵 * @param n n*n矩阵的大小 * @return 系数矩阵 */private double[][] coefficient(int n) {double[][] coeff = new double[n][n];double sqrt = 1.0/Math.sqrt(n);for(int i=0; i<n; i++) {coeff[0][i] = sqrt;}for(int i=1; i<n; i++) {for(int j=0; j<n; j++) {coeff[i][j] = Math.sqrt(2.0/n) * Math.cos(i*Math.PI*(j+0.5)/(double)n);}}return coeff;}/** * 矩阵相乘 * @param A 矩阵A * @param B 矩阵B * @param n 矩阵的大小n*n * @return 结果矩阵 */private double[][] matrixMultiply(double[][] A, double[][] B, int n) {double nMatrix[][] = new double[n][n];double t = 0.0;for(int i=0; i<n; i++) {for(int j=0; j<n; j++) {t = 0;for(int k=0; k<n; k++) {t += A[i][k]*B[k][j];}nMatrix[i][j] = t;}}return nMatrix;}}