三、常见曲线的参数方程
第二章 轨迹与方程
§1 平面曲线的方程
§3 母线平行于坐标轴的柱面方程
§4 空间曲线的方程
§2 曲面的方程
§1 平面曲线的方程
一、曲线的方程
二、曲线的参数方程
三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1
当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 满足这个方程，
那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个
方程的图形。
概括而言，曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系
例1 求圆心在原点，半径为R 的圆的方程
例2 已知两点 和 ，求满足条件
的动点M 的轨迹方程
二、曲线参数的方程
定义2
若取 的一切可能取值
①由 表示的向径 的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由
的某一值 通过 完全决定
那么就把 叫做曲线的向量式参数方程，
其中 为参数。
其坐标式参数方程为
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹
该定点的轨迹为旋轮线或摆线(cycloid)
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一
定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid)
例4 已知大圆半径为a ，小圆半径为b，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定点P 的轨迹方程
(a＝4b)四尖点星形线(astroid)
圆的内摆线
(2)一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个定点P的运动轨迹称为外摆线(epicycloid)
其参数方程为
特别当R＝r时可以得到心脏线(cardioid)
其参数方程为
(3)把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的渐伸线或切展线(involute)
其坐标式参数方程为
(4)椭圆的参数方程
设椭圆的方程为
第一种参数方程以角度 为参数：
第二种参数方程以斜率 为参数：
作业
P77 2 , 3
§2 曲面的方程
一、曲面的方程
二、曲面的参数方程
三、球坐标系与柱坐标系
一、曲面的方程
例1 求联结两点A(1,2,3)和B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程.
例2 求两坐标面xOz 和yOz 所成二面角的平分面方程.
例3 求坐标平面yOz 的方程.
例4 一平面平行于坐标平面xOz，且在y 轴的正向一侧与平面xOz 相隔距离为k ，求它的方程.
例5 设球面的中心是点C(a,b,c)，而且半径等于r ，求它的方程.
求曲线方程一般需要下面的5个步骤：
1)选取适当的坐标系(如题中已给定，这一步可省)；
2)在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；
3)根据曲线上的点所满足的几何条件写出等式；
4)用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简得方程；
5)证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定义.
二、曲面的参数方程
例6 求球心在原点，半径为r 的球面的参数方程.
例7 求以z 轴为对称轴，半径为R 的圆柱面的参数方程.
结论 求空间曲面或曲线的参数方程时，经常是作向径 的坐标折线，将分解 为平行于坐标轴的三个向量之和，这样便于找出 x,y,z 与参数之间的函数关系.
注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
一般按下列三个步骤进行：
三、球坐标系与柱坐标系
1.球坐标系
2.柱坐标系
作业
P87～88
2(4) ， 3(3)，4(3)
§3 母线平行于坐标轴
的柱面方程
抛物柱面
平面
抛物柱面方程：
平面方程：
从柱面方程看柱面的特征：
(其他类推)
实 例
椭圆柱面，
双曲柱面 ，
抛物柱面，
母线//