最优化原理和方法试题答案.doc
《最优化原理与算法》试卷
填空题(每小题5分)
1.若，则 ， .
2.设连续可微且，若向量满足 ，则它是在处的一个下降方向。
3.向量关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 .
4. 设二次可微，则在处的dsdmj方向为 .
5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .
6.以下约束优化问题：
的K-K-T条件为：
.
7.以下约束优化问题：
的外点罚函数为(取罚参数为) .
证明题(7分+8分)
1.设和都是线性函数，证明下面的约束问题：
是凸规划问题。
2.设连续可微，，，，考察如下的约束条件问题：
设是问题
的解，求证：是在处的一个可行方向。
计算题(每小题12分)
1.取初始点.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题(迭代2步)：
2.采用精确搜索的BFGS算法求解下面的无约束问题：
3.用有效集法求解下面的二次规划问题：
4.用可行方向算法(Zoutendijk算法或Frank Wolfe算法)求解下面的问题(初值设为,计算到即可)：
参考答案
一、填空题
1.
2.
3. ，(答案不唯一)。
4.
5. dsdmj法、修正dsdmj法等(写出一个即可)
6.
7.
二、证明题
1.证明：要证凸规划，即要证明目标函数是凸函数且可行域是凸集。
一方面，由于二次连续可微，正定，根据凸函数等价条件可知目标函数是凸函数。
另一方面，约束条件均为线性函数，若任意可行域，则
故，从而可行域是凸集。
2.证明：要证是在处的一个可行方向，即证当，时，，使得，
当时，，，故；
当时，，，故.
因此，是在处的一个可行方向。
计算题
1.解：
令 得；
第一次迭代： ，， ，令，求得；
第二次迭代：，，，
，令，求得，故，由于，故为最优解。
0
1
2
2.解：取
第一步迭代：
，，令，求得；
第二步迭代：
，，
，，令，求得。故，由于，故为最优解。
0
1/2
1
2
2
3. 解：取初始可行点求解等式约束子问题
得解和相应的Lagrange乘子
转入第二次迭代。求解等式约束子问题
得解
令
转入第三次迭代。求解等式约束子问题
得解和相应的Lagrange乘子
由于，故得所求二次规划问题的最优解为
，
相应的Lagrange乘子为
4.解：计算梯度得
当时，，.是下面线性规划问题的解：
解此线性规划(作图法)得，于是.由线性搜索
得.因此，.重复以上计算过程得下表：
0
1
1
2