增广矩阵的秩
* 主要内容： 一.矩阵的秩 二.一般线性方程组的解 三.矩阵的秩及其求法 ７.５ 一般线性方程组 矩阵的秩是矩阵的重要特性之一，它在线性 方程组解的讨论中起着关键的作用. 定义：矩阵A的阶梯形矩阵所含非零行的行数称为矩 阵A的秩，记为r(A)． 根据这个定义，可以得出求矩阵A的秩的一般步骤： (1)用矩阵的初等行变换把A化为阶梯形矩阵； (2)数一下阶梯形矩阵中有多少个非零行 一、矩阵的秩 所以 r(A)=3． 所以 r(B)=3． 一般的线性方程组，它的未知数个数与方程的个数可以相等也可以不相等．对于n个未知数n个方程的线性方程组，当它的系数行列式不为零时，可以有以下三种求解方法： ⑴dsdc法则；⑵逆矩阵；⑶矩阵法．其中矩阵法还能用来求解未知数个数与方程个数不相等的线性方程组．本节将运用矩阵法来讨论一般的线性方程组的解．先考察先面的两个例子． 例3 讨论线性方程组 二 、一般线性方程组的解 ① 最后一个矩阵对应于方程组： 因此有 由于当x3和x4分别任意取定一个值时，都可 得到方程组的一组解，因此该方程组有无穷多 组解． 最后一个矩阵对应于方程组： 其中第三个方程0=3是不可能成立的．因而方程组无解． ② 从以上两个例子最后得到的两个矩阵①和②来看，它们的左上角都是一个单位矩阵，以下各行中除去最后一列可能有非零元素(如矩阵②)外，其余元素均为零． 一个含有n个未知数的m个方程的线性方程组 它的增广矩阵 ③ 一般经过适当的行初等变换，它的左上角会出现一个r阶的单位矩阵(r≤n)，而在以下(m-r)各行，除去最后一列可能有非零元素外，其余的元素均为零．即增广矩阵经过行初等变换后可化成以下形式，其中r≤n： 为说明方便起见，先介绍方程组的相容性的概念． 定义 若方程组③有解，则称方程组③是相容 的；若方程组③无解，则称方程组③是不相容的． 下面分别按矩阵④出现的各种不同情形来讨论 对应的线性方程组的解． 1.若cr+1=0，则线性方程组③的系数矩阵与增广矩阵 的秩相等，并且都等于r(r≤n)，则线性方程组③是相容的．当r