本文是在观看B站公开课《微积分的本质》时随课的记录,对内容和格式有问题的朋友欢迎评论和私信交流~
#1 隐函数和隐函数求导 隐函数的定义隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。
设F(x,y)是某个定义域上的函数,如果存在定义域上的子集D,使得对每个x∈D,存在相应的y满足满足F(x,y)=0,则称该方程确定了一个隐函数。
通俗一点理解,隐函数就是变量受到等式制约,而使得变量之间应该具有的一种映射关系。
隐函数曲线——满足某种关于变量x和y的性质,所有(x,y)点的集合。 隐函数求导如果一定要给隐函数求导制定一个定义的话,那就是求解出方程中隐含的函数的导数。
【计算总结】常用的隐函数求导的方法
①隐函数→显函数,常规的函数求导
②复合函数求导法则:例如对于F(x,y) = 0这样的隐函数,两边同时对x求导,但是要把y看做是关于x的函数,使用链式法则。
③一阶微分形式不变性,等式两边同时关于x求导。<隐函数求导法则>
④把n元隐函数看成是n+!元函数,使用多元函数的偏导计算来求导。
一个梯子倚靠在墙上,梯子长5米,梯子的顶端以1米/秒的速度下滑,试问,梯子的底端离开墙角的速度是多少?
2. 问题分析
梯子底端距离墙的距离,完全是由梯子顶端离地高度决定的。
因为具有这样的制约关系,所以我们肯定是可以算出两端运动速度的相互关系的。 问题求解(1)对于两端距离分别命名为x(t)和y(t),从而可以得到一个等式关系。
(2)求解方案列举
①隐函数→显函数
按照速度的定义,只要求解出x(t)关于时间的导数,自然就得到了底端运动的速度。
②1元隐函数→2元显函数
对于x(t)2+y(t)2=52这样的等式,是可以抽象成F(t) = 0的形式,只看等式左边,就是一个显函数。
可以直接对这个显函数进行求导,又根据导数的实际意义,因为这个函数的值总是不变,所以在任何位置任何时刻进行任何变化,这个函数的变化率都为0.
【关于等式两边求导到底在求什么呢?】
——求表达式的该变量右边为0,因为表达式始终是一个常数。只有每次经过dt,表达式始终都不变化才能满足原等式。 #3 经典的圆切线问题 问题描述
需要对于形如x2+y2=R2的圆方程进行切线方程的求解
问题求解针对圆的方程式进行隐函数求导,使用一阶微分形式不变性。
意义解读①对等式两边进行同时求导,意味着要求不论x和y同时进行了怎样的微小变动,因为它是一个圆,所以总的表达式的变化量应该为0。
②相当于是保证了x和y在变化时每一步都落在过圆的一条切线上。
#4 隐函数求导的应用应用:从已有的导函数中推导出未知的导函数
从指数函数中推导出对数函数的导数。
原视频指路——
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