设函数，定义函数为：
此函数称为f(x)的共轭函数。从3.2节逐点上确界的内容也可以看出，此函数也是的逐点上确界函数，而是关于y的仿射函数，可以将其看成是凸函数，这样也是凸函数。故对任意的函数f(x)，为凸函数。
在实际问题中，可以将x理解为生产一个产品所需要的资源，而f(x)则为生产x的资源的价格，y则是x的销售价格，那么也就变成了最大盈利问题。
几何上，共轭函数表示了线性函数和f(x)之间的最大差异。如下图：
基本性质 Fenchel不等式由定义：
可知：
此为Fenchel不等式。
共轭的共轭凸函数f的共轭函数的共轭函数为函数f本身。
可微函数设函数f是凸函数且可微，，使最大，对x求导，得到：
令其为0，得到：
假设使的x为，则，代入得到：
所以如果给定y，可以通过求解方程，得到z，从而得到共轭函数
换一个角度理解：
,令 ，则
伸缩变换和复合仿射变换(1)若
证明：
对x求导，并令其为0，得到：
此时令最大解，则，代入
再看f的共轭函数，对x求导，并令其为0，记最大解为
因为a>0，所以g(x)和f(x)的最大解是同一个解，故
所以，，故：
(2)设非奇异，，则函数的共轭函数为，且定义域为
证明：
对x求导，并令其为0，得到：
记最大解为，则：
再看f的共轭函数，对x求导，并令其为0，记最大解为
g(x)和f(x)的最大解是同一个解，故，代入到中
又
代入：
又，
故：
得证
独立函数的和如果函数，且是凸函数，且共轭函数分别为，则