定义1.设有n维向量x=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 ⋮x n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,y=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ y 1 y 2 ⋮y n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 令[x,y]=x 1 y 1 +x 2 y 2 +⋯+x n y n ,称[x,y]为向量x与y的内积.
1)内积是一个数(或一个多项式)
2)内积是向量的一种运算,可用矩阵的运算.
列向量:[x,y]=x T y
行向量:[x,y]=xy T
1)对称性:[x,y]=[y,x];
2)齐次性:[λx,y]=λ[x,y];
3)线性性:[x+y,z]=[x,z]+[y,z].
定义2.令∥x∥=[x,x] − − − − √ =x 2 1 +x 2 2 +⋯+x 2 n − − − − − − − − − − − − − − − √ 称∥x∥为n维向量x的范数.
2.范数的性质 1)非负性:当x≠0时,∥x∥>0;当x=0时,∥x∥=0;
2)齐次性:∥λx∥=λ∥x∥;
3)三角不定式:∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥.
称∥x∥=1时的向量x为单位向量.任意α≠0,e=α∥α∥ 为单位向量.
4.坚强的啤酒不定式[x,y] 2 ≤[x,x][y,y],即∣ ∣ ∣ [x,y]∥x∥∥y∥ ∣ ∣ ∣ ≤1(当∥x∥≠0,∥y∥≠0时)
5.向量的夹角θ=arccos[x,y]∥x∥∥y∥ (当∥x∥≠0,∥y∥≠0时)
三.向量组的正交性 1.正交 设x、y为n维向量,当[x,y]=0时,称x与y正交的.
若x=0,则x与任何向量都正交.
正交向量组：指一组两两正交的非零向量组.
定理1.若n维向量α 1 ,α 2 ,⋯,α r 是一组两两正交的非零向量,则α 1 ,α 2 ,⋯,α r 线性无关.
证:设有λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ r ,使λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +⋯+λ r α r =0,取α i (i=1,2,⋯,r)在上式两端作内积.[λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +⋯+λ r α r ,a i ]=[0,α i ][λ i α i ,α i ]=0亦即λ i [α i ,α i ]=0因a i ≠0,故[α i ,α i ]=∥a i ∥ 2 ≠0,从而必有λ i =0(i=1,2,⋯,r),于是向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α a 线性无关.
用正交向量组作向量空间的基,称为向量空间的正交基.
例如:n个两两正交的n维非零向量,可构成向量空间R n 的一个正交基.
例1.已知3维向量空间R 3 中的两个向量α 1 =⎛ ⎝ ⎜ 111 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 2 =⎛ ⎝ ⎜ 1−21 ⎞ ⎠ ⎟ 正交,式求一个非零向量α 3 ,使α 1 ,α 2 ,α 3 两两正交.
解:设所求的向量α 3 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T 依题意可得:[α 1 ,α 3 ]=0,[α 2 ,α 3 ]=0,即
{x 1 +x 2 +x 3 =0x 1 −2x 2 +x 3 =0
由于A=(11 1−2 11 )∼(10 1−3 10 )∼(10 01 10 )
得{x 1 =−x 3 x 2 =0
从而有基础解系⎛ ⎝ ⎜ −101 ⎞ ⎠ ⎟ ,取α 3 =⎛ ⎝ ⎜ −101 ⎞ ⎠ ⎟ ,即为所求.
定义3.设有n维向量e 1 ,e 2 ,⋯,e r 是向量空间V(V⊂R n )的一个基,如果e 1 ,e 2 ,⋯,e r 是两两正交的单位向量,则称e 1 ,e 2 ,⋯,e r 是向量空间V的一个规范正交基.显然,若e 1 ,e 2 ,⋯,e r 是V的一个规范正交基.则
[e i ,e j ]={1i=j0i≠j
例如:e 1 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 12 √ 12 √ 00 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,e 2 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 12 √ −12 √ 00 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,e 3 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0012 √ 12 √ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,e 4 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0012 √ −12 √ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,
由于[e i ,e j ]={1i=j0i≠j （i,j=1,2,3,4)
所以e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 是一个规范正交基.
设e 1 ,e 2 ,⋯,e n 是V的一个规范正交基,那么V中任何一向量α=(x 1 ,x 2 ,⋯,x n )应能由e 1 ,e 2 ,⋯,e n 线性表示,表示法为:α=x 1 e 1 +x 2 e 2 +⋯+x n e n 为求表示法中的系数x i ,可用e i 与α作内积(i=1,2,⋯,n),[α,e i ]=[x 1 e 1 +x 2 e 2 +⋯+x n e n ,e i ]=x i [e i ,e i ]=x i 称x 1 ,x 2 ,⋯,x n 是α在基e 1 ,e 2 ,⋯,e n 下的坐标.
3.施密特标准正交化设α 1 ,α 2 ,⋯,α r 是向量空间V的一个基,令b 1 =α 1 ,e 1 =b 1 ∥b 1 ∥ b 2 =α 2 −[α 2 ,e 1 ]e 1 ,e 2 =b 2 ∥b 2 ∥ b 3 =α 3 −[α 3 ,e 1 ]e 1 −[α 3 ,e 2 ]e 2 ,e 3 =b 3 ∥b 3 ∥ ⋯⋯⋯b r =α r −[α r ,e 1 ]e 1 −⋯−[α r ,e r−1 ]e r−1 ,e r =b r ∥b r ∥ 可以证明,e 1 ,e 2 ,⋯,e r 是两两正交的单位向量,故e 1 ,e 2 ,⋯,e r 是V的一个规范正交基.
例2.设α 1 =⎛ ⎝ ⎜ 12−1 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 2 =⎛ ⎝ ⎜ −131 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 3 =⎛ ⎝ ⎜ 4−10 ⎞ ⎠ ⎟ ,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解:取b 1 =α 1 ,e 1 =b 1 ∥b 1 ∥ =16 √ ⎛ ⎝ ⎜ 12−1 ⎞ ⎠ ⎟ ,b 2 =α 2 −[α 2 ,e 1 ]e 1 =α 2 −[α 2 ,b 1 ∥b 1 ∥ ]⋅b 1 ∥b 1 ∥ =α 2 −[α 2 ,b 1 ]b 1 ∥b 1 ∥ 2 =⎛ ⎝ ⎜ −131 ⎞ ⎠ ⎟ −46 ⎛ ⎝ ⎜ 12−1 ⎞ ⎠ ⎟ =53 ⎛ ⎝ ⎜ −111 ⎞ ⎠ ⎟ e 2 =b 2 ∥b 2 ∥ =13 √ ⎛ ⎝ ⎜ −111 ⎞ ⎠ ⎟ b 3 =α 3 −[α 3 ,b 1 ]∥b 1 ∥ 2 b 1 −[α 3 ,b 2 ]∥b 2 ∥ 2 b 2 =⎛ ⎝ ⎜ 4−10 ⎞ ⎠ ⎟ −13 ⎛ ⎝ ⎜ 12−1 ⎞ ⎠ ⎟ +53 ⎛ ⎝ ⎜ −111 ⎞ ⎠ ⎟ =2⎛ ⎝ ⎜ 101 ⎞ ⎠ ⎟ e 3 =b 3 ∥b 3 ∥ =12 √ ⎛ ⎝ ⎜ 101 ⎞ ⎠ ⎟ 故e 1 ,e 2 ,e 3 即合所求.
例3.已知α 3 =(1,1,1) T 求非零向量α 1 ,α 2 ,使α 3 与α 1 ,α 2 正交,并把它们化成R 3 的规范正交基.
解:α 1 ,α 2 应满足α T 3 x=0的非零解,即x 1 +x 2 +x 3 =0它的基础解系为ξ 1 =⎛ ⎝ ⎜ 10−1 ⎞ ⎠ ⎟ ,ξ 2 =⎛ ⎝ ⎜ 01−1 ⎞ ⎠ ⎟ ,令α 1 =ξ 1 ,α 2 =ξ 2 ,则α 3 与α 1 ,α 2 正交,显然α 1 与α 2 线性无关,因此可用施密特标准正交化.取b 1 =α 1 ,则e 1 =b 1 ∥b 1 ∥ =12 √ ⎛ ⎝ ⎜ 10−1 ⎞ ⎠ ⎟ ,取b 2 =α 2 −[α 2 ,e 1 ]e 1 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ −12 0−12 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 则e 2 =b 2 ∥b 2 ∥ =12 √ ⎛ ⎝ ⎜ −12−1 ⎞ ⎠ ⎟ 再把α 3 单位化,得e 3 =α 3 ∥α 3 ∥ =13 √ ⎛ ⎝ ⎜ 111 ⎞ ⎠ ⎟ ,故e 1 ,e 2 ,e 3 即为R 3 的一个规范正交基.
定义4.如果n阶矩阵A满足A T A=E(即A −1 =A T ),那么称A为正交矩阵.
将矩阵A按列分块,即A=(α 1 ,α 2 ,⋯,α n ),则⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ α T 1 α t 2 ⋮α T n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ (α 1 ,α 2 ,⋯,α n )=E.
亦即(α T i ,α j )=δ ij ={1i=j0i≠j
这说明方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量都是两两正交的单位向量.同理可得方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量都是两两正交的单位向量.
例4.验证P=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 12 12 12 √ 0 −12 −12 12 √ 0 12 −12 012 √ −12 12 012 √ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 是正交矩阵.
解:显然P的每个列向量是两两正交的单位向量.所以P为正交矩阵.
例5.设e 1 ,e 2 ,⋯,e n 是R n 的一个规范正交基.A为正交矩阵.试证:Ae 1 ,Ae 2 ,⋯,Ae n 也是R n 的一个规范正交基.
证:由于[Ae i ,Ae j ]=(Ae i ) T Ae j =e T i A T Ae j =e T i e j ={1i=j0i≠j
定义5.设P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换.
设y=Px为正交变换,则有∥y∥=y T y − − − √ =x T P T Px − − − − − − − √ =x T x − − − √ =∥x∥按∥x∥表示向量长度,∥x∥=∥y∥说明经过正交变换,向量的长度保持不变,这是正交变换的优良特性.