( x + 1 ) n = ∑ k = 0 n x k ( n k ) (x+1)^n = sum_{k=0}^n x^k {nchoose{k}} (x+1)n=k=0∑nxk(kn)
对左右同时求导，把组合数看作系数，其中 ( x + 1 ) (x+1) (x+1) 直接保留即可。
n ( x + 1 ) n − 1 = ∑ k = 0 n k x k − 1 ( n k ) n(x+1)^{n-1} = sum_{k=0}^n kx^{k-1} {n choose k} n(x+1)n−1=k=0∑nkxk−1(kn)
现在 k k k 的指数还是 1 1 1，两边同时再次求导，需要用到导函数的乘法法则
[ f ( x ) g ( x ) ] ′ = f ( x ) g ( x ) ′ + f ( x ) ′ g ( x ) [f(x)g(x)]'=f(x)g(x)'+f(x)'g(x) [f(x)g(x)]′=f(x)g(x)′+f(x)′g(x)
n ( ( 1 + x ) n − 1 + ( n − 1 ) x ( 1 + x ) n − 2 ) = ∑ k = 0 n k 2 ( n k ) x k − 1 n((1+x)^{n-1}+(n-1)x(1+x)^{n-2}) = sum_{k=0}^nk^2 {n choose k} x^{k-1} n((1+x)n−1+(n−1)x(1+x)n−2)=k=0∑nk2(kn)xk−1
取 x = 1 x=1 x=1，这个是根据系数而定的，如果 x ≠ 1 xnot=1 x=1，那么会得到的系数是一个多项式。
∑ k = 1 n k 2 ( n k ) = n ( n + 1 ) 2 n − 2 sum_{k=1}^n k^2 {n choose k} = n(n+1)2^{n-2} ∑k=1nk2(kn)=n(n+1)2n−2
当然我们可以进行多次求导，这只会改变 k k k 的指数，其它都不变。对于任意的 k k k，我们只能暴力求导。