文章目录 信号的定义定义及数学表示分类信号的基本运算信号的分解信号的脉冲分解脉冲函数脉冲函数的性质性质一：偶函数性质二：积分得到阶跃函数性质三：筛选性质 信号的正交分解
本文涉及到信号处理的基本知识，主要为图像处理与模式识别打基础。
信号的定义 定义及数学表示 信号是一种随时间或空间变化的物理现象或物理量
– 如声音、图像、视频等信号的表示：
– 可以由一个或多个独立变量构成的函数来表示一维声音信号 A ( t ) A(t) A(t) 、二维图像信号 I ( x , y ) I(x,y) I(x,y)、三维视频
信号 V ( x , y , t ) V(x,y,t) V(x,y,t)
– 绘出函数的图像称为信号的波形
– 各种变换、频谱分析等 分类 信号在不同的规则下具有不同的分类方式
– 确定性信号与随机信号
– 奇信号与偶信号
– 一维信号和多维信号
– 连续时间信号和离散时间信号
– 周期信号和非周期信号
– 模拟信号和数字信号
具体分类依据不再展开，可参考其他网络资料 信号的基本运算
这些了解即可
移位（时移或延时） F ( t ) = f ( t − t 0 ) F(t) =f(t-t_0) F(t)=f(t−t0)反转变换（反褶） F ( t ) = f ( − t ) F(t) =f(-t) F(t)=f(−t)尺度变换（压缩与扩展） F ( t ) = f ( a t ) F(t) =f(at) F(t)=f(at)微分与积分 F ( t ) = f ′ ( t ) = d d t f ( t ) F ( t ) = ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ F(t) =f'(t) = frac{d}{dt}f(t) \ F(t) = int_{-infty}^{t}f(tau)dtau F(t)=f′(t)=dtdf(t)F(t)=∫−∞tf(τ)dτ加法与乘法 F ( t ) = f 1 ( t ) + f 2 ( t ) F ( t ) = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) F(t) = f_1(t)+f_2(t) \ F(t) = f_1(t)*f_2(t) F(t)=f1(t)+f2(t)F(t)=f1(t)∗f2(t)基本信号分解。下面将具体介绍。 信号的分解 为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和分解角度不同，可以分解为不同的分量
– 直流与交流分解：直流分量与交流分量
– 奇偶分解：偶分量与奇分量
– 虚数的虚实分解：实部分量与虚部分量
– 脉冲分解：脉冲分量
– 正交分解：正交函数分量 信号的脉冲分解 脉冲函数
脉冲函数也称 δ delta δ函数。若在一维空间中，自变量为时间 t t t的函数，满足下述两个条件:
把满足上述两个条件的函数称为函数 δ delta δ，记作 δ ( t ) delta(t) δ(t)。 δ delta δ函数是一种广义函数，也可以扩展到多维空间中，它的确切意义应该在积分运算下理解：其积分曲线高度为“无限高”，而宽度为“无限窄”，曲线下的面积等于1。因此， δ delta δ函数有下述关系式
显而易见，不做赘述
设 u ( t ) u(t) u(t)为单位阶跃函数，即
则有
脉冲函数与阶跃函数都具有比较好的性质，接下来通过阶跃函数，推导出性质三：筛选性质。
矩形脉冲
将一个信号用矩形脉冲来逼近
当 t = τ t=tau t=τ时，脉冲高度为 f ( τ ) f(tau) f(τ)，脉宽为 Δ τ Deltatau Δτ，则此窄脉冲可表示为 f ( τ ) [ u ( t − τ ) − u ( t − τ − Δ τ ) ] f(tau)[u(t-tau) - u(t-tau - Deltatau)] f(τ)[u(t−τ)−u(t−τ−Δτ)].
这个窄脉冲（矩形脉冲）可以好好体会一下。
得到了一个窄脉冲基于阶跃函数的表示，那么整个信号的表示只需要对 τ tau τ求和。
至此，我们回到了用 δ delta δ表示一个信号，得到公式
这就是筛选性质，同时，原信号被分解，这就是脉冲分解。
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