最近好几天没有更新博客了，就是因为这几天来，都在研究今天我们要讲到的概念。导数，微分，积分！ 这一部分的内容可以说是高等数学上的核心内容，如果我们把这个弄清楚了，做起题来才能心中有底。既然是学数学嘛，就要真正理解这些东西的来龙去脉。好了，话不多说，今天下午我终于把这几个概念间的关系给梳理清楚了，其间也查阅了很多资料，发现网上很多地方讲得都很模糊，现在我来总结分享一下。
一、导数【问题引入】
我们首先可以来思考一下这个问题：
1.我们已知一辆汽车在时间 t 内通过的一段路程s，我们能求出这辆汽车每个时刻的瞬时速度吗？
2.求切线的斜率
1.首先我们看看第一个问题：
若汽车是匀速直线运动，很容易知道，汽车每时每刻的速度都是总路程S / 总时间T = V;
那汽车非匀速运动的时候怎么求每时刻的瞬时速度呢？首先，我们可以知道汽车行进的路程s和时间t是存在一个函数关系的，称为函数s(t)。可以画出一个S-t图像。那么函数s(t)一定是一个连续函数，因为汽车在短时间内不可能发生路程的急剧变化。
那么我们想一想，根据极限概念，对于时刻 t0，那么在 t0 + △t 这个时刻 汽车路程应该是变化了△s = s(t0 + △t) - s(t0)这个没毛病吧。那么我们在时间段 △t 中的平均速度应该为 △s / △t；如果△t特别小的时候，这个平均速度不就近似于此时此刻的瞬时速度了吗，因为前面说过，s(t)函数是连续的啊，在短时间内，它的速度变化是特别小的。因此！我们可以将时间间隔△t 特别小时的平均速度作为这个t0–t0 + △t 这些点的瞬时速度！ △t越小，结果越精确！
因此t0时刻的瞬时速度我可以表示为：
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.求切线的斜率
可以看到，切线本质上是一条割线的极限情况，所以求切线的斜率，就是让N点无限趋近于M点，然后求MN的斜率即可。
【总结】：
上述两个问题，都出现了
这个式子。仔细体会，我们发现，它其实是刻画了函数y在每一点上的变化率的情况，它的值越大，说明函数在这个点x0，因变量随自变量变化得越快。我们将这个表达式表示的值，定义为导数。很明显，它刻画了函数在某点时，因变量随自变量变化的变化率情况
那么它肯定是很重要的啊，像股票，经济中，只要是有看增长率，变化率的地方，肯定会用到！
【注：】
导数和导函数是不同的概念。但目前很多老师喜欢混为一谈。导数是一个值，即函数在某一点的一个变化率；而导函数，是函数上每一个点都对应一个变化率的值，这个变化率的值构成一个函数，我们叫导函数。
x^2的导函数是2x，最好不要直接说导数是2x
若一个函数在区间X上所有的点都可导（即定义式存在极限），那么我们称这个函数在区间X上是可导函数
主要是想说明可导函数一定连续，连续函数不一定可导。
证明：（连续函数的总结以后再写）
但连续不一定可导，比如y = |x|这个函数，在x = 0处是不可导的，所以它是不可导的函数。因为在x ->0-的时候，导数是-1，x->0+的时候导数是1.左右导数虽然存在但不相等，所以不可导。
没想到写一个导数就写了半天，哈哈，我本来是打算好好写微分的。这样，微分放在下一篇文章写算了