量纲分析与无量纲化实例及MATLAB求解
量纲分析与无量纲化实例及MATLAB求解 2.9 量纲分析与无量纲化 物理量的量纲 长度 l 的量纲记 L=[l] 质量 m的量纲记 M=[m] 时间 t 的量纲记 T=[t] 动力学中基本量纲 L, M, T 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 导出量纲 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=LMT-2 引力常数 k 的量纲 [k] 对无量纲量?，[?]=1(=L0M0T0) 2.9.1 量纲齐次原则 =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2 量纲齐次原则 等式两端的量纲一致 量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 例：单摆运动 l mg m 求摆动周期 t 的表达式 设物理量 t, m, l, g 之间有关系式 ?1, ?2, ?3 为待定系数，?为无量纲量 (1)的量纲表达式 对比 量纲齐次原则 等式两端的量纲一致 量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 例：单摆运动 l mg m 求摆动周期 t 的表达式 设物理量 t, m, l, g 之间有关系式 ?1, ?2, ?3 为待定系数，?为无量纲量 (1)的量纲表达式 对比 对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ) 为什么假设这种形式 设p= f(x,y,z) x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍 p= f(x,y,z)的形式为 单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 y1~y4 为待定常数, ?为无量纲量 设 f(q1, q2, ?, qm) = 0 ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r F(? 1, ?2,…, ?m-r ) = 0 与 f (q1, q2, ?, qm) =0 等价, F未定 Pi定理 (Buckingham) 是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, ? , Xn 是基本量纲, n?m, q1, q2, ? , qm 的量纲可表为 量纲矩阵记作 线性齐次方程组 有 m-r 个基本解，记作 为m-r 个相互独立的无量纲量, 且 则 [g] = LT-2, [l] = L, [?] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2 量纲分析示例：波浪对航船的阻力 航船阻力 f 航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度?, 重力加速度g。 m=6, n=3 Ay=0 有m-r=3个基本解 rank A = 3 rank A = r Ay=0 有m-r个基本解 ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r m-r 个无量纲量 F(?1, ?2 ,?3 ) = 0与 ?(g,l,?,v,s,f) = 0 等价 为得到阻力 f 的显式表达式 F=0 ? 未定 F(? 1, ?2,…, ?m-r ) = 0 与 f (q1, q2, ?, qm) =0 等价 量纲分析法的评注 物理量的选取 基本量纲的选取 基本解的构造 结果的局限性 ? (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 基本量纲个数n; 选哪些基本量纲 有目的地构造 Ay=0 的基本解 方法的普适性 函数F和无量纲量未定 不需要特定的专业知识 2.9.2 量纲分析在物理模拟中的应用 例: 航船阻力的物理模拟 通过航船模型确定原型船所受阻力 ~模型船的参数(均已知) 可得原型船所受阻力 已知模型船所受阻力 ~原型船的参数 (f1未知，其他已知) 注意：二者的?相同 按一定尺寸比例造模型船，量测 f，可算出 f1 ~ 物理模拟 2.9.3 量纲分析 例：爆炸的冲击波(爆炸的破坏力分析) (一)问题提出 爆炸的冲击波是造成破坏的主要原因，研究冲击波是必要的。建立数学模型，用予预测冲击波的传播过程：冲击波的半径随时间变化的规律。 研究冲击波的半径随时间变化的规律 (二)量的分析 爆炸—能量释放.发生是在一点上突然释放出大量的能量。主要变量：E—能量 爆炸表面形成一个球面，以冲击波形式在空中向外传播. 假设球的半径为R:是关于时间的函数. 时间t. 半径R的变化还与空气密度 . 空气气压 .有关. 即 设 (三)假设 1)爆炸在一点突然发生,在气压为 的空气中传播; 2)同一时间只一点发生爆炸,传播空间内无大型障碍物的阻止; 3