基本概念：
状态：动力学系统的状态定义为信息的集合
状态变量：确定动力学系统状态的最欢喜的长颈鹿组变量
状态向量：由n个状态变量组成的向量
状态空间：以状态变量位坐标构成的空间
状态方程：描述状态变量之间及其和输入之间的函数关系的一阶微分方程。
输出方程：描述系统输入变量和状态变量（有时包括输入）之间幻术关系的代数方程。
状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合。
状态空间方程的建立
对于一个单输入单输出的线性定常系统
选取状态变量：
根据这个加上原式又可以得到
写成矩阵的形式就可以构建两个方程，即：
其中：
在下面也会提到，这里的矩阵A也叫做可控标准型。
对于一个多输入-多输出的系统
有：
如果输入中含有导数项的处理：
例如：
如果按照上面的方法建立状态方程
方程并不只有一阶微分了，显然不满足要求，所以必须换一种方式建立。
用这种方式建立状态方程就避免了这个问题
通过简单的换算可以得到
微分方程求解
此时为零输入，也就是齐次微分方程的解。
设：
带入方程中
可得：
t=0时，解为b0
所以
x(t)是一个关于时间的矩阵。
为了方便，我们定义
所以有
rydxbw变换求解
结果一致。
接下来令：
显然，有以下性质：
称为状态转移矩阵
改写为
积分后化简可得
也可以写成
rydxbw变换法同理上述，不再赘述。
将状态方程进行rydxbw变换可得
遵循矩阵运算法则
令Y(s)=G(s)U(s),从式子中易解出
即逆矩阵为伴随矩阵除以矩阵的行列式。
特征方程为：
由此即可得出极点。
P是n×n的矩阵。
发现特征方程没有发生变化。
什么是可控性，是否可控性其实就是在问系统的输入是否能控制状态的变化。
准备知识Cayley-Hamilton定理
矩阵A满足自己的特征多项式
又
不妨令
1、定义
对于任意时刻t0和tf,如存在控制向量u(t),能将t=t0的每个初始状态x(t0)转移到t=tf时刻的另一个任意状态x(tf)，则称系统完全可控。
2、可控性判据
充要条件
不做证明。
3、输出可控性判据
4、约当形可控判据
等价变换不改变可控性，约当形一般形式为
5、可控标准形
有这种形式的系统一定可控。
基本变换步骤为
6、可控性分解
当系统不可控时，应该有
如果单变量系统的可控性矩阵不满秩，则存在一个可逆变换矩阵P使得变换后的矩阵有如下形式：
也叫做部分可控系统
1、定义
如果在有限时间间隔[0,t1]内，根据输出值和输入值能够唯一确定系统的初始状态x(0)的每一个分量，则称此系统时完全可观测的。
2、可观测性判据
证明略
3、对偶原理
上面的两个系统为对偶系统。
系统1可控（可观）则等价于系统2可观（可控）。
由此可以得出推论，如果方程中A阵具有约当标准形，则系统可观测的充分必要条件可以得出。首先，同一特征值对应的约当块只有一块。其次，每一约当块的第一列所对应的c中的元素非0。
4、可观测标准型
得出可观测标准形的方法，
给定方程如下
构造对偶系统
根据对偶原理，构造的系统一定可控
若原方程的可逆变换阵为M，对偶系统的可逆变换阵为P
所以线性变换矩阵
即矩阵M可以将方程化为可观测标准形。
5、按可观性进行分解
也叫做部分可观测。
D矩阵为直接控制矩阵，不为传递函数的一部分，是传递矩阵的一部分。
定理
动态方程可控、可观测的充要条件是g(s)无零、极点对消。
式中，u为输入，v为参考输入，k为状态反馈增益矩阵。
可以得到新的表达式
可证明，状态反馈不影响系统的可控性，但是可以改变系统的可观测性。
状态反馈对闭环特征值的影响
通过选取反馈增益矩阵来改变闭环特征值在复平面上的位置，称为状态反馈进行极点配置问题。
定理
闭环方程的系统矩阵A-bk的特征值可以由k配置到复平面的任意位置。
证明略