若 ： ，，则：
而：
则：
为三角形面积，建议百度叉乘的几何意义
2. 皮克公式：
即：多边形面积 S = 多边形内整数点的个数 n + 多边形边上整数点的个数 / 2 - 1
注：多边形的顶点坐标必须是整数
3. 线段上整数点的个数：gcd(线段在x轴的投影长，线段在y轴的投影长) + 1
注：线段的两端点坐标都必须是整数
简单证明：
设点 A(x1,y1)，B(x2,y2)，且 x1 <= x2，y1 <= y2（方便后面的叙述）
现在以 A 点为原点建立直角坐标系，线段 AB 在 x 轴的投影长为：a = x2 - x1，在 y 轴的投影长为：b = y2 - y1，那么线段 AB 的方程为 y = bx/a (0 =< x <= a)，设 g = gcd(a,b)，b' = b/g，a' = a/g；同样有：y = b'x/a'，此时 a' 与 b' 互质，若想 y 为整数，那么必有 x = ka'；由于 x 属于 [0，a]，那么这样的 x 有：a / a' = g 个，再加上原点这一个，证毕！！！
4. 任意多边形的面积皮克公式有一定的局限性；上文给出了三角形的公式，对于只知道顶点坐标的情况下，我们可以将 n 边形化成 n-2 个三角形
，依次用叉乘算出每个三角形的面积，求和就得到了多边形的面积，计算时用到了的边向量，于是化简可以得到多边形的面积公式(点的坐标必须是顺时针或逆时针依次给出的)：
读者可能会想如果点的坐标不是按顺序依次给出的又该怎么办呢？
（1）所给多边形为凹包：
如果点不是按照顺序依次给出的，那么所构成的多边形一定不唯一（画画就明了），所以点一定是按顺序给出的
（2）所给多边形为凸包：
我们可以先将点按极角排序，就可套用公式了，（凹包的点极角排序后多边形的顶点不是依次有序的）
ps：极角排序
ps：线性代数知识解释公式来历
5. 应用：
（1）HDU 1705 - Count the grid
题意：
给你三个点，求三个点组成的三角形内有多少个整数点，不算边上的，也就是求皮克公式中的n
代码：
// n = S - s/2 + 1#include <cmath>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;typedef long double ld;int main(){ int x1,y1,x2,y2,x3,y3; while(cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>x3>>y3) { if(x1==0&&y1==0&&x2==0&&y2==0&&x3==0&&y3==0) break; int a1 = x2-x1,b1 = y2-y1; int a2 = x3-x1,b2 = y3-y1; int S = abs(a1*b2-b1*a2)/2; //要加绝对值 int s = __gcd(abs(x1-x2),abs(y1-y2))+1; s += __gcd(abs(x3-x2),abs(y3-y2))+1; s += __gcd(abs(x1-x3),abs(y1-y3))+1-3;//重复计算了3个顶点 cout<<S - s/2 + 1<<endl; } return 0;}（2）2018年牛客多校算法寒假训练营练习比赛
代码：
#include <cmath>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long ll;typedef long double ld;int main(){ int x1,y1,x2,y2,x3,y3; while(cin>>x1) { if(x1==-1) break; cin>>y1>>x2>>y2>>x3>>y3; int a1 = x2-x1,b1 = y2-y1; int a2 = x3-x1,b2 = y3-y1; double S = abs((double)a1*b2-b1*a2)/2.0; int ab = __gcd(abs(x1-x2),abs(y1-y2))+1; int bc= __gcd(abs(x3-x2),abs(y3-y2))+1; int ac= __gcd(abs(x1-x3),abs(y1-y3))+1; int s = ab + bc + ac - 3; printf("%.1f ",S); printf("%lld %d %d %dn",(ll)S-s/2+1,ab-2,bc-2,ac-2); } return 0;}（3） HDU 2036 多边形的面积
代码：
#include <cmath>#include <cstdio>#include <iostream>using namespace std;struct point{ int x,y;}p[150];int main(){ int n; while(cin>>n&&n) { for(int i=0;i<n;++i) cin>>p[i].x>>p[i].y; int ans = p[n-1].x*p[0].y - p[n-1].y*p[0].x; for(int i=0;i<n-1;++i) ans += p[i].x*p[i+1].y - p[i].y*p[i+1].x; printf("%.1fn",abs(ans)*1.0/2.0); } return 0;}（4）牛客网-简单多边形
题意：
判断顶点坐标是按什么顺序给出的
题解：
根据叉乘的几何意义，顺时针计算，结果为负，逆时针结果为正
代码：
#include <cmath>#include <iostream>using namespace std;int x[110];int y[110];int main(){ int n; cin>>n; for(int i=1;i<=n;++i) cin>>x[i]>>y[i]; int ans = 0; for(int i=1;i<n;++i) { ans += x[i]*y[i+1] - x[i+1]*y[i]; } ans += x[n]*y[1]-x[1]*y[n]; if(ans>0) cout<<"counterclockwise"; else cout<<"clockwise"; return 0;}