我们这章要设计计算机中的控制器D(z)，D(z)是Z域中的表达，是输出信号的Z变换与输入信号Z变换的比值，这个比值等式映射到时域中就是，这就是我们要找的时域中的控制算法。
计算机控制系统典型图：
我们假设：A/D D/A转换器的精度足够高，采样没有延迟，上述框图可以简化为下面框图：
。。。略过一些前面的东西，不太明白，过段时间再来补充
模拟控制器的离散化方法
下面我们均认为模拟控制器已经被设计出来了，表示为G(s)。
1、直接Z变换方法或者叫做Impulse Invariance（脉冲响应不变法）我们可以直接对模拟控制器G(s)进行Z变换得到G(z)。
有人问了，什么尼玛叫做对G(s)进行Z变化，难道Z变换不是针对离散信号的嘛？至少我们信号课上没讲过。。。
请看下图:
对G(s)进行Z变换的“物理意义”就是：G(s)有一个一一对应的时域信号g(t)，时域信号采样得到g*(t)，然后对这个离散信号进行Z变换得到G(z)。具体Z变换请看我的另一篇博文《计算机控制系统中的Z变换》。
那么为什么又叫做，impulse invariance法呢？先来看看impulse invariance法的定义：
我们对G(s)输入一个脉冲信号，输出是hs(t)，hs(t)是什么，就是g(t)，即G(s)的ljdyd反变换；我们对G(z)也输入一个脉冲信号，得到输出hz（t），我们希望hs（t）采样之后时刻与hz（t）相等，那这样的G（z）是什么呢？那就是：
这里求得的G（z）也就是脉冲响应传递函数（impulse transfer function）。
性质：
①若D（s）稳定，那么D（z）稳定；（原因是：这直接是Z变换）
②频率周期性混叠
（解决频率混叠办法：
）
③ 原因是G（z）不能直接用替换G（s）得到
④只对可以滤掉高频信号或者本身是低频信号的的系统试用
考试例题：
2、step invariance（阶跃响应不变法）上一种方法是同时输入脉冲响应，结果相同。这种方法是同时输入阶跃响应，我们要求输出的结果（采样处）相同，如下图：
推导如下：
故变换公式为：
说明：相当于D(s)串联一个ZOH然后直接进行Z变换，符合解决方法1种频率混叠的解决方案1，故频率混叠可以被有效减少。
性质：
①D(s)是稳定的，那么D(z)稳定
② 原因是：不能直接由得到
③it is applicable for the system which has rich high-frequency information
总结有用的z变换公式：
3、差分变换法设想模拟控制器为一个积分器，于是有，在离散控制器种，用来表示微分du(t)，e(t)dt即这一瞬间的面积可以用两种方法代替，e(kT)T或者e((k-1)T)T，分别对应后向差分和前向差分，即
后向差分（backward）
前向差分（forward）
这个对应关系式是直接可以替换的，即用相应的式子替换掉G(s)中的s，即可得到G(z)！
1>前向差分：
(4)没有频率重叠，但有频率失真！
stability is the foundation of everything, not stable, not useful!基本不用前向差分！！！
2>后向差分
（4）没有频率重叠，变换式一一对应；但是失真严重
考试例题：由于直接代换，相对于前两道题，比较直接
4、双线性变换Tustin差分法是用矩形面积代替积分面积，双线性是用梯形面积代替积分面积。