那么问题处在哪里了呢?
下面我们再引出一个问题,也是这篇文章的核心
这个f‘(2x)到底是什么呢,我相信很多很多高数的初学者会犯和我一样的错误 错认为答案为2其实答案是1哈哈!!
这就牵扯到我们对复合求导这一概念的刨析了。
笔者抄了一段同济课本的复合求导定义:
这个问题答案的解决核心是,这个f‘(2x)到底是等式的左边部分,还是画红线的部分其实从形式上来看,很明显就是右边画红波浪号的形式了,
其实很多人对于这段定义都有误解
或者说其实对于f'(u)这个东西的理解有偏差 , 我们可能对大部分的复合求导都没有有问题,但是一直没有理清楚,我们求导的过程中,到底所写的部分是对于这个式子的哪个。我们求的是y的导数没错,但是y的导数是上图左边,还是右边呢
答案是右边
其实f'[g(x)]本身就是f'(u),因为u=g(x),所以左边肯定是不对的
笔者充满了疑惑,在网上一直搜罗,最后找到了这个。
和 的区别在于: 表示的是,先代入 再求导; 表示的是先求导后代入 。这句话可谓是一针见血。当然学习数学要本着探索其内在的精神。我们进一步思考含义
,
这句话其实换种方式理解,就是我们把框框看成一个整体,对框框求导。什么意思呢,其实就是我们复合函数常说的外导,就是把框框当成x处理,在处理完后把x换成框框,是不是有点绕回去了呢哈。
举一个我们复合函数求导的例子,大家对照着理解
回过头来我们分析问题所在,其实是因为这样乘以,得到的不是f‘(x)
而是F'(X),原来的式子仅仅只是F‘(x)=【f(g(x))】‘而不是f’(g(x))
这里的F就是f和g两种法则的复合,我用一张图片帮助大家理解。
所以这里的等号根本不成立,故错误。
总结:
f‘(g(x))=f‘(t) 这里是对t求导也就是g(x)求导,或者说是f’(x)(对x求导后)中全部x换成t的结果
[f(g(x))]'=F'(X) 这里F是f和g法则的复合,是对x求导,或者说是把x换成t 也就是g(x)后再求导