内容：大多是摘录原书，概括、理解是自己总结的。
目的：供自己温习使用，有摘录不全或总结不精的部分。他人学习，仅供参考。
目录
U6 线性方程组
1. 作用于向量的形式
2. 解的形式
3. 解的代数形式
4. 解的结构
5. 方程组、矩阵与向量的关系
U7 二次型
1. 定义
2. 表示（多项式与向量）
3. 用途
4. 几何意义
5. 二次型合同对角化
6. 惯性定理
7. 正定二次型
笔记链接汇总
U6 线性方程组 1. 作用于向量的形式
（1）看成矩阵对向量（x, y）T的作用，使之变为另一个向量。所以解方程就是看某已知向量撤销矩阵的作用，还原成的（x, y）T是什么，即在找向量是从哪一个向量变来的
（2）将矩阵的每一行看成一个方程，所以是一个x、y如何线性组合而得到的方程组。所以解方程，就是在找这样一个线性组合。
2. 解的形式（1）从矩阵作用角度看（二阶矩阵）
无穷多解：如，某矩阵可以把某直线上所有的点，变换成一个点，则这直线上的无穷多点都是解。
无解：如果该矩阵所在的空间（二维平面）中，任何一点都无法在此矩阵的作用下，变成已给的点，那么无解。
（2）从方程个数与秩看（二元方程组）
无穷多解：若r(A)=r(A | b)=1，方程只有一个是有效的，即两个方程重合，即两线重合，其交点都是解，有无穷多个。
唯一解：若r(A)=r(A | b)=2，两直线相交，有唯一交点就是唯一解。
无解：若r(A)=1 < r(A | b)=2，两直线平行但不重合，无法化简，没有相交点，没有解。
若二元三个方程，同理。
（3）从向量空间
有解说明线性方程组成立，即b向量可被向量组{a1，……an}（Ⅰ）线性表示，所以（I）和{a1，……an，b}（Ⅱ）等价。又因为（Ⅰ）是（Ⅱ）的子向量组，二者twdjmg的空间相同，秩也相同。而（Ⅰ）、（Ⅱ）分别是矩阵A和（A | b）的列向量，所以二者列秩相等，有相同的列空间，r (A)=r(A | b)。
r (A)=r(A | b)=n，说明（Ⅰ）（Ⅱ）twdjmg的空间重合，b的坐标唯一，对应的解也唯一。
r (A)=r(A | b)<n ，说明（Ⅰ）是低维空间，而b在该低维空间中，所以可以被其他点变换得到，在此空间中有一个解。但是，高于该空间的所有空间内的向量，都可以被矩阵通过降维变换得到向量b，所以有无穷多解。
3. 解的代数形式1个四元线性方程，表示四维空间里的一个三维空间体；
2个四元线性方程（无关），表示四维空间里的一个二维平面；
3个四元线性方程（无关），表示四维空间里的一个一维直线；
4个四元线性方程（无关），表示四维空间里的一个零维点。
小结：解的维数（解的图形的维数）+ 有效的方程个数r = 空间的维数n。
4. 解的结构非齐次方程的解，就是对应的齐次方程的解平面平移得到的。所以，非齐次的解平面不过原点。
5. 方程组、矩阵与向量的关系方程组可以写成矩阵方程，或是向量线性组合。所以一些求解问题可以互相转化。
U7 二次型 1. 定义【二次型】二次型是变量的二次乘积项的和，是不含一次项及常数项，只含有二次项的函数式。它不是线性函数！
二次型和线性代数有什么关系？见下。
2. 表示（多项式与向量）一元n次多项式，可以用一个向量表示。在计算机编程中常用，如下图及相关链接。
指路链接：《用线性表表示一元多项式及多项式相加运算》：https://jingyan.baidu.com/article/14bd256ebe6fbcbb6d2612d3.html
同理，多元2次多项式即二次型，可以表示为几个向量的联合，即矩阵，且是一个对称矩阵。
一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵；反之亦然。
3. 用途将二次型的研究，转到对实对称矩阵的研究上。
研究线性空间里的一个几何图形，如何用不同坐标基下的不同矩阵表示。合同的矩阵表示的是，同一个二次函数的几何图形。（合同并不唯一。）
注：包含交叉项的函数，是只含平方项的函数做了旋转或伸缩而得。如果只有旋转，那么合同；如果有伸缩，那么合同吗？看起来几何图形不能重合，但是，我们假定几何图形不变，函数式变是因为坐标系改变！所以此时变的是图形在不同坐标系下的像，而不是图形本身。
4. 几何意义（1）解析意义：
二次型的图形是二次曲线或曲面，多元二次型是超二次曲线或曲面。
（2）向量意义（复数域）：
向量在不同坐标系下长度的平方。
规范二次型是在标准正交基下的坐标为x=(x1, x2, …, xn)。
如果基进行正交变换（基的长度和正交关系都不变），则该向量在新的基下，仍是二次型的规范性。
如果坐标轴正交关系不变，但单位（基的长度）变，则是二次型的标准型。
如果是一个任意的新坐标系，则是二次型的一般形式。
5. 二次型合同对角化5.1 是什么？
把一般二次型化简成标准形或进一步的规范型，也就是把二次型对应的矩阵化为对角矩阵。
5.2 为什么要用合同来变？
因为合同才可以保证，矩阵表示的二次型的函数值不变，向量长度不变。相似对角化是只保证矩阵表示的线性变换不变，但不保证函数值一样。
5.3 与正交变换的关系？
二次型如何合同，答：正交变换。因为实对称矩阵，一定可以相似对角化。且因为实对称，这种相似变换可以是正交变换，此时相似就成了合同。即用正交的相似变换，代替了合同变换。（正交变换既是相似变换，也是合同变换。因为正交变换保证向量的长度和夹角不变，属于刚体变换，表示空间的旋转或镜像。其他合同变换不会保证图形形状不变。）
5.4 方法
[1] 求特征值、特征向量，再正交化、单位化，拼出正交变换所用的矩阵。.
[2] 配方法，但对角元素不一定是特征值。
[3] 初等变换法，A做一次行变换一次列变换，E做一次列变换，即可求出使用的变换矩阵。但对角线不一定是特征值。
6. 惯性定理同一个二次型的不同标准形中，正、负系数的个数不变。
6.1 几何意义：
二次型图形是对称的。在化成标准型时是最完美的对称性。
（假定存在一个绝对的坐标系，是永恒的刻度不变的标准正交坐标系。）经过可逆的合同变换，二次型变为标准型，方程系数与变换有关；但是曲线的类型（如椭圆型、双曲型等）不会因为线性变换不同而改变。椭圆型，选的基不同，可能会横着、竖着、斜着，可能变胖变瘦，可能变大变小，但都是椭圆型。
（若假定二次型的物理实体是刚性的不变的。）原来的标准正交坐标系，变成了刻度和坐标轴夹角都不同的仿射坐标系，所以函数表达式变了。
7. 正定二次型表示空间中，任何不全为0的取值的x1……xn，二次型函数的取值为正。整个图像在空间的正部分，且当且仅当x1=……xn=0时取到原点。
笔记链接汇总【线代】《线性代数的几何意义》——摘录笔记
（一）目录、前言、U1 线性代数
（二）U2 向量、U3 行列式、U4 向量组向量空间
（三）U5 矩阵
（四）U6 线性方程组、U7 二次型
（五）附录（线代简史、如何学习）、小结
看到这里，还有附录没看了。线性代数简史我可能读的会比较糙，后面的那篇文章倒是有点兴趣看。再写一篇附录文章+整个书的小结。