实对称矩阵的几点性质：
1.特征值必是实数
2.不同特征值的特征向量必正交
3.必与对角矩阵相似
4.一定可以用正交矩阵相似对角化（满足的矩阵为正交阵），步骤如下
（1）求A的特征值λ1、λ2、λ3
（2）求特征向量α1、α2、α3
（3）改造特征向量
a. 如λi ≠ λj 只需要单位化
b. 如λi = λj
若(αi, αj) = 0，如需单位化
若(αi, αj) ≠ 0，施密特正交化
最终得到改造好的特征向量γ1、γ2、γ3两两垂直且都是单位向量
（4）构造正交矩阵
Q = (γ1, γ2, γ3)
二、二次型
1、二次型及其矩阵表示
二次型的矩阵必定是实对称矩阵即
2、标准型：只有平方项没有混合项的二次型
3、规范性： 平方项系数为1、-1或0的标准型
4、正惯性指数：标准型的正平方项个数
负惯性指数：标准型的负平方项个数
5、二次型的秩：即二次型矩阵的秩
r(f) = r(A)
6、坐标变换
其中 |C|≠0，即矩阵C一定要可逆，才是坐标变换
7、合同 如，其中C为可逆矩阵，称矩阵A和B合同，记做，合同的性质：
1.
2.如果，则
3.如果，，则
合同是为了研究实对称矩阵、二次型而引入的，对一般的非实对称矩阵做合同变换意义不大。
下面说明为什么 使用正交矩阵对二次型相似对角化可以将 二次型图像不改变形状的前提下 使其淡定的白猫：
如果C为正交阵，且，（即C矩阵中的每个列向量都是A矩阵的特征向量，A矩阵可以用C矩阵进行相似对角化）：
1.图形淡定的白猫：
如果C矩阵只是A矩阵的普通的特征向量组成的矩阵，那么仍然成立，但是，不一定成立，但是由于C矩阵不仅是特征向量组成的矩阵，而且是两两垂直的单位特征向量组成的矩阵，即正交阵，所以，所以一定成立，所以C矩阵进行坐标变换后，x=Cy后，
由上式可知，经过C坐标变换之后，系数阵为对角阵，即二次型只剩下平方项系数，故图形淡定的白猫；
2.图形形状不变：
C为正交阵，每个列向量之间相互垂直，且模长为1，x=Cy变换后只改变平面所有向量的方向，不改变长度，即x=Cy为围绕坐标原点的单纯的旋转变换，故不改变图形形状。
定理 ：对任意都 坐标变换x=Cy，使
证明思路1： 因为A为实对称矩阵， 所以必定可以 用正交阵相似对角化， 所以坐标变换的C取此正交阵即可，当然C是不唯一的，也可以用配方法取得。
定理： （惯性定理）对一个二次型经坐标变换为标准型，其正惯性指数和负惯性指数，都是唯一确定的
三、二次型正定
恒有，则成 f 为正定二次型， A为正定二次型矩阵。
正定（充要条件）
p=n (p为正惯性指数，n为矩阵A的阶数)
， 即 可逆矩阵C，使
A特征值，全大于0
（证明思路，相似对角化变换，无论变换的矩阵是哪一个（不唯一），只要矩阵中特征向量的顺序相同，结果都一样（即特征值分布在对角线上的对角阵），且这些矩阵中肯定有一个是正交阵，即 A合同于以特征值为对角线的对角阵，根据惯性定理，特征值全大于零，所以正惯性指数 = n，二次型正定）
A的顺序主子式全大于0
正定（必要条件）
A矩阵的对角线上的元素全大于0，即