数学建模期末复习,撰写博客做总结之用,主要侧重于算例的模型建立与部分代码的实现,其中不足之处望读者多多指正。
Matlab微分求解工具箱使用
求数值解
dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)
求解析解
[t,x]=solver(’f’,ts,x0,options)
详细的使用说明可参考博文Matlab微分方程求解
导弹问题
问题介绍
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹,导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0v_0v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶,导弹的速度是5v0v_0v0,求导弹运行的曲线方程.乙舰行驶多远时,导弹将它击中?
模型建立与求解
1. 解析法
模型建立:设t时刻导弹的位置为P(x(t),y(t)),乙舰位于Q(1,V0tV_0tV0t),由题(导弹头始终对准乙舰)可得,导弹在运动弧线p点处的切线y′=v0t−y1−xy^{prime}=frac{v_{0} t-y}{1-x}y′=1−xv0t−y即 v0t=(1−x)y′+y(1)v_{0} t=(1-x) y^{prime}+y(1)v0t=(1−x)y′+y(1)
又由题意(导弹速度是舰的5倍)故有:∫0x1+y′2dx=5v0t(2)int_0^x {sqrt {1 + y{'^2}} } {rm{d}}x = 5{v_0}t (2)∫0x1+y′2dx=5v0t(2)
有(1)(2)式可得微分微分方程为:(1−x)y′′=151+y′2(3)(1-x) y^{prime prime}=frac{1}{5} sqrt{1+y^{prime 2}}(3)(1−x)y′′=511+y′2(3)
初值方程为:y(0)=0y(0) = 0y(0)=0,y′(0)=0y'(0) = 0y′(0)=0,利用Matlab求解可得:y=−58(1−x)45+512(1−x)65+524y = - frac{5}{8}{(1 - x)^{frac{4}{5}}} + frac{5}{{12}}{(1 - x)^{frac{6}{5}}} + frac{5}{{24}}y=−85(1−x)54+125(1−x)56+245
2. 数值解法
将上述方程化为一阶方程,不妨设y1=y,y2=y′y_1=y,y_2=y'y1=y,y2=y′,代入(3)中得到{y1′=y2y2′=151+y12/(1−x)left{begin{array}{l}y_{1}^{prime}=y_{2} \ y_{2}^{prime}=frac{1}{5} sqrt{1+y_{1}^{2}} /(1-x)end{array}right.{y1′=y2y2′=511+y12/(1−x)
利用Matlab求解:
%定义函数
function dy=eq1(x,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=y(2);
dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);
end
调用
x0=0;
xf=0.9999;
[x,y]=ode15s('eq1',[x0 xf],[0 0]);
plot(x,y(:,1),'-')
hold on
y=0:0.01:2;
plot(1,y,'*')
复制代码
由图可得,导弹大致在点(1,0.2)处击中乙舰。
3. 参数方程
上述结题假设不变,在此基础再将导弹的速度设为www,则在P点处有:(dxdt)2+(dydt)2=w2(1){({{{rm{d}}x} over {{rm{d}}t}})^2} + {({{{rm{d}}y} over {{rm{d}}t}})^2} = {w^2}(1)(dtdx)2+(dtdy)2=w2(1)
同时,导弹始终对准乙舰,即导弹速度向量与乙舰的位置向量平行,故有:
frac{mathrm{d} x}{mathrm{d} t} \ frac{mathrm{d} y}{mathrm{d} t} end{array}right)=lambdaleft(begin{array}{l} X-x \ Y-y end{array}right), quad lambda>0(2)$$ 将 $$left{begin{array}{l} frac{mathrm{d} x}{mathrm{d} t}=frac{w}{sqrt{(X-x)^{2}+(Y-y)^{2}}}(X-x) \ frac{mathrm{d} y}{mathrm{d} t}=frac{w}{sqrt{(X-x)^{2}+(Y-y)^{2}}}(Y-y) end{array}right.(3)$$ 不妨假设乙舰速度为1,则w=5,X=1,Y=t,此时导弹的参数轨迹为: $$left{begin{array}{l} frac{mathrm{d} x}{mathrm{d} t}=frac{5}{sqrt{(1-x)^{2}+(t-y)^{2}}}(1-x) \ frac{mathrm{d} y}{mathrm{d} t}=frac{5}{sqrt{(1-x)^{2}+(t-y)^{2}}}(t-y) \ x(0)=0, y(0)=0 end{array}right.$$ matlab求解: ```php function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2); dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2); end %调用 [t,y]=ode45('eq2',[0 2],[0 0]); Y=0:0.01:2; plot(1,Y,'-') hold on plot(y(:,1),y(:,2),'*') ``` ![在这里插入图片描述](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/c12063ad33dd4333b64448e9ae4d3075~tplv-k3u1fbpfcp-高兴的橘子-1.image) 由图可得,导弹最终大致在(1,0.2)处命中目标。这里还以尝试用二分法的思想进一步得到更精确的答案,……tf=0.21是可得求解图像为: ![在这里插入图片描述](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/b4f9a6123c24433383fcd64a18b1adfa~tplv-k3u1fbpfcp-高兴的橘子-1.image) 据此可得更为精确的答案。