作者：桂。
时间：2017年12月19日20:43:04
链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/8067839.html
前言
主要记录基本的频分复用原理，以及仿真实现。
一、频分复用原理
频分复用FDM:
通常x1..4(t)可以是同一个序列的串并转化，也可以是不同序列，频分复用示意图：
主要包含三个操作：1）上采样(up-sample); 2）滤波（fir）;3）累加(sum)。
频分复用：将多个不同频段的信号拼接为一个宽带信号，主要包含三个操作：1）上采样(up-sample); 2）滤波（fir）;3）累加(sum)。
上采样T1/T2 = 4，故上采样倍数为4，上采样有原数据保持、插值、补零等方法，这里采用最基本的补零方法。不失一般性，X0(n)、X1(n)、X2(n)、X3(n)分别按不同频率的正弦信号处理。
以x1(n) 的频域变换：
4倍插值后的频谱：
可以看出插值后出现了多个重复周期，因此需要借助低通滤波以保留单一周期，如下图所示:
因此需要构造不同频段的滤波器，四个蓝色阴影部分拼接（累加）即可。
滤波器这里prototype滤波器:
共构造8个滤波器，分成四组，输出y(n)为：
Y(n) = y0(n)+ y1(n)+ y2(n)+ y3(n)
ym(n)：
Ym(n) = xm_interpl(n)*[ha (n) exp((-im*2*pi*(m*n))/8)+ ha(n) exp((-im*2*pi*((8-m)*n))/8)]
= 2*xm_interpl(n)*[ha(n)cos((-2*pi*(m*n))/8)]
其中ha (n) = h(n)* exp((-im*pi*n)/8)为prototype filter，至此便完成了信号的频分多路复用（FDM）理论推导.
累加滤波后的各个输出累加，即得到调制的y(n)，仿真图如图所示：
结果与上文一致。
二、仿真结果
频分复用的接收端是发射的逆过程，分别利用 基本滤波器、多相滤波器实现：
基本滤波器：
%recovery signal: xclc;clear all;close all;load fir2.mat;fir = fir2;B = 4000;%4KHzfs1 = 2*B;D = 4;t1 = 0:1/fs1:(128-1)/fs1;f = [800 1600 2200 2800];%frequencyx0 = sin(2*pi*t1*f(1));x1 = sin(2*pi*t1*f(2));x2 = sin(2*pi*t1*f(3));x3 = sin(2*pi*t1*f(4));x_shape = [x0;x1;x2;x3];%% interpx0_interp = [x0;zeros(3,length(t1))];x0_interp = x0_interp(:)';x1_interp = [x1;zeros(3,length(t1))];x1_interp = x1_interp(:)';x2_interp = [x2;zeros(3,length(t1))];x2_interp = x2_interp(:)';x3_interp = [x3;zeros(3,length(t1))];x3_interp = x3_interp(:)';%%prototype filterx_all = [x0_interp;x1_interp;x2_interp;x3_interp;flipud([x0_interp;x1_interp;x2_interp;x3_interp])];im = sqrt(-1);iseq = 1:length(fir);for j = 1:D h_channel(j,:) = fir.*cos((2*pi*((j-1/2)*(iseq-1)))/8);% h_channel(j,:) = fir.*exp((1j*2*pi*((j-1/2)*(iseq-1)))/8);end%%add signalyn = zeros(1,length(x3_interp));for i = 1:D yn = filter(h_channel(i,:),1,x_all(i,:))+yn;end%%demultiplexx_channel = zeros(D,length(yn)/D);for i = 1:D x_channel(i,:) = downsample(filter(h_channel(i,:),1,yn),D);endfigure()for i = 1:D subplot(2,2,i) plot(linspace(0,fs1,length(t1)),abs(fft(x_channel(i,:)))); xlabel('frequency(Hz)');ylabel('amplitude');title('direct filter -> x');end%%plot msefigure()for i = 1:4 x_channel(i,:) = x_channel(i,:)/max(abs( x_channel(i,:))); subplot (2,2,i) plot(linspace(0,fs1,length(t1)),x_channel(i,:));hold on; plot(linspace(0,fs1,length(t1)),x_shape(i,:),'r--');hold on;% plot(linspace(0,fs1,length(t1)),abs(x_shape(i,:)-x_channel(i,:)).^2,'k'); xlabel('frequency(Hz)');title('MSE');% legend('recovery','orignal','MSE');end多相滤波器，推导：
令l = iD+p，D表示分解后信号路数，此处D = 4:
令，
再将结果取实部即可得解。
%recovery signal by polyphase filter: xclc;clear all;close all;load fir2.mat;fir = fir2;B = 4000;%4KHzfs1 = 2*B;D = 4;t1 = 0:1/fs1:(128-1)/fs1;f = [800 1600 2200 2800];%frequencyx0 = sin(2*pi*t1*f(1));x1 = sin(2*pi*t1*f(2));x2 = sin(2*pi*t1*f(3));x3 = sin(2*pi*t1*f(4));x_shape = [x0;x1;x2;x3];%% interpx0_interp = [x0;zeros(3,length(t1))];x0_interp = x0_interp(:)';x1_interp = [x1;zeros(3,length(t1))];x1_interp = x1_interp(:)';x2_interp = [x2;zeros(3,length(t1))];x2_interp = x2_interp(:)';x3_interp = [x3;zeros(3,length(t1))];x3_interp = x3_interp(:)';%%prototype filterx_all = [x0_interp;x1_interp;x2_interp;x3_interp;flipud([x0_interp;x1_interp;x2_interp;x3_interp])];im = sqrt(-1);iseq = 1:length(fir);for j = 1:D h_channel(j,:) = fir.*cos((-2*pi*((j-1/2)*(iseq-1)))/8);% h_channel(j,:) = fir.*exp((1j*2*pi*((j-1/2)*(iseq-1)))/8);end%%add signalyn = zeros(1,length(x3_interp));for i = 1:D yn = filter(h_channel(i,:),1,x_all(i,:))+yn;end%%demultiplex%prototype filterh0 = fir.*exp((-1j*2*pi*((-1/2)*(iseq-1)))/8);h_py = fliplr(reshape(h0,D,length(h0)/D));y_py = (reshape(yn,D,length(yn)/D));x_channel = zeros(D,length(yn)/D);for i = 1:D x_channel(i,:) = filter(h_py(i,:),1,y_py(i,:));endx_channel = real(ifft(x_channel));x_channel = x_channel([1,4,2,3],:);%%plot msefigure()for i = 1:4 x_channel(i,:) = x_channel(i,:)/max(abs( x_channel(i,:))); subplot (2,2,i) plot(linspace(0,fs1,length(t1)),x_channel(i,:));hold on; plot(linspace(0,fs1,length(t1)),x_shape(i,:),'r--');hold on;% plot(linspace(0,fs1,length(t1)),abs(x_shape(i,:)-x_channel(i,:)).^2,'k'); xlabel('frequency(Hz)');title('MSE');% legend('recovery','orignal','MSE');end三、其他
原型滤波器信道化思路：
信道化与频分复用略有不同，频分复用主要是余弦函数，理论上相邻无衰减，得到的余弦曲线并不理想：
当有一定的过渡带时，余弦曲线：
可见此时应该有一个过渡带才更加合理，而不是像信道化体系常用的约束：相邻信道无缝连接。