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向量叉乘的数学意义,向量叉乘和点乘运算规律

时间:2023-05-04 01:40:09 阅读:257336 作者:763

向量叉乘:

两个向量的坐标量积又叫做向量积,用于计算法向量。

游戏内应用: 用于判断物体在自身的左右方位。还有应用于图形学里,对环境光照于自身顶点或者片元的法向量的夹角来判断光漫反射的强弱。用于相机视图是否剔除该面的渲染。等等。 判断方式


顺时针方向从b旋转到a,使用左手定则,四指方向是旋转方向,大拇指方向即为法向量方向。
逆时针方向从a到b,可使用右手定则,上同。

法向量的模定义为:
也就是ab平行四边形面积。

要计算向量积,我们需要引用几个公式
代数规则
1、反交换律:a×b=-b×a

2、加法的分配律:a×(b+c)=a×b+a×c。

3、与标量乘法兼容:(ra)×b=a×(rb)=r(a×b)。

4、不满足结合律,但满足雅可比恒等式:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0。

5、分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。

6、两个非零向量a和b平行,当且仅当a×b=0

且当我们设坐标系三个单位向量为i,j,k可得:
根据以上几个代数规则可得

则a×b=[a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1]

向量的点积:

两向量a和b的点积(或称为标积)为一个标量,记为 a·b ,它的大小为:
xdddds| |b| cosθ
其中,θ为两向量a 与 b 的夹角。如果已知两向量的点积,可以通过下公式计算出两向量夹角,

θ = arccos(a · b) / (|a| |b|)
特殊情况也有a = b ,此时的θ = 0 , 有a · a = |a|²,即向量自身的点积为其模的平方。
wwdst有时候也简写为 a²。

若设向量P= (x1,y1) , Q = (x2,y2) 则
P · Q = x1 × x2 + y1 × y2

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