本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。。
原文：https://blog.csdn.net/cckit/article/details/41629263
基本理论 一、基本概念1、给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 n = kp + r ；
2、其中k、r是整数，且 0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。
3、对于正整数p和整数a,b，定义如下运算：
取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。
模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。
模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。
模p乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。
说明：1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。
2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。
二、基本性质（1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
（3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)
（4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)
三、运算规则模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
(a^b) % p = ((a % p)^b) % p （4）
结合率： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）
交换率： (a + b) % p = (b+a) % p （7）
(a * b) % p = (b * a) % p （8）
分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）
重要定理：
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，
(a * c) ≡ (b * d) (%p) ，(a / c) ≡ (b / d) (%p)（12）
除法：若ac ≡ bc (mod m)，c≠0 则 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) ，其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数。
特殊地 ,gcd(c,m)=1 则 a ≡ b (mod m)
幂运算：如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)
基本应用：
1.判别奇偶数 2.判别素数3. 最大公约数 4．模幂运算
另见：
https://blog.csdn.net/qq_36345036/article/details/77407069
https://blog.sengxian.com/algorithms/mod-world