矩阵的奇异值是一个数学意义上的概念，一般是由奇异值分解(Singular Value Decomposition,简称SVD分解）得到。如果要问奇异值表示什么物理意义，那么就必须考虑在不同的实际工程应用中奇异值所对应的含义。下面先尽量避开严格的数学符号推导，直观的从一张图片出发，让我们来看看奇异值代表什么意义。
这是一张照片，像素为高度450*宽度333。
我们都知道，图片实际上对应着一个矩阵，矩阵的大小就是像素大小，比如这张图对应的矩阵阶数就是450*333，矩阵上每个元素的数值对应着像素值.我们记这个像素矩阵为A
现在我们对矩阵A进行奇异值分解.直观上，奇异值分解将矩阵分解成若干个秩为一的矩阵之和，用公式表示就是：
(1)
其中等式右边每一项前的系数就是奇异值,u和v分别表示列向量，秩一矩阵的意思是矩阵秩为1。注意到每一项都是秩为1的矩阵。我们假定奇异值满足o1 >o2..>or, > 0(奇异值大于0是个重要的性质，但这里先别在意)，如果不满足的话重新排列顺序即可，这无非是编号顺序的问题。
既然奇异值有从大到小排列的顺序，我们自然要问，如果只保留大的奇异值，舍去较小的奇异值，这样(1)式里的等式自然不再成立，那会得到怎样的矩阵（图像）？
令，这只保留(1)中等式右边第一项，然后作图：
当我们取（1）的前50项的时候，
我们得到和原图差别不大的图像.也就是说当k从1不断增大时，Ak不断的逼近A.让我们回到公式
矩阵A表示一个450*333的矩阵，需要保存450×333=149850个元素的值。等式右边u和v分别是450*1和333*1的向量，每一项有1+450+333=784个元素。如果我们要存储很多高清的图片，而又受限于存储空间的限制，在尽可能保证图像可被识别的精度的前提下，我们可以保留奇异值较大的若干项，舍去奇异值较小的项即可.例如在上面的例子中，如果我们只保留奇异值分解的前50项，则需要存储的元素为784×50=39200，和存储原始矩阵A相比，存储量仅为后者的26%。
奇异值往往对应着矩阵中隐含的重要信息，且重要性和奇异值大小正相关。每个矩阵A都可以表示为一系列秩为1的“小矩阵”之和，而奇异值则衡量了这些“小矩阵”对于A的权重。
在图像处理领域，奇异值不仅可以应用在数据压缩上，还可以对图像去噪。如果一副图像包含噪声，我们有理由相信那些较小的奇异值就是由于噪声引起的。当我们强行令这些较小的奇异值为0时，就可以去除图片中的噪声。
如下是一张25*15的图像
但往往我们只能得到如下带有噪声的图像(和无噪声图像相比，下图的部分白格子中带有灰色)∶
通过奇异值分解，我们发现矩阵的奇异值从大到小分别为：14.15，4.67，3.00，0.21，0.05。除了前3个奇异值较大以外，其余奇异值相比之下都很小.强行令这些小奇异值为0，然后只用前3个奇异值构造新的矩阵，得到
可以明显看出噪声减少了(白格子上灰白相间的图案减少了)。
奇异值分解还广泛的用于主成分分析(Principle Component Analysis，简称PCA)和推荐系统(如Netflex的电影推荐系统)等。在这些应用领域，奇异值也有相应的意义。
奇异值重构图片
可以看到，当我们取到前面120个奇异值来重构图片时，基本上已经看不出与原图片有多大的差别。
从上面的图片的压缩结果中可以看出来，奇异值可以被看作成一个矩阵的代表值，或者说，奇异值能够代表这个矩阵的信息。当奇异值越大时，它代表的信息越多。因此，我们取前面若干个最大的奇异值，就可以基本上还原出数据本身。
如下，可以作出奇异值数值变化和前部分奇异值和的曲线图，如下图所示
奇异值变化图
从上面的第1个图，可以看出，奇异值下降是非常快的，因此可以只取前面几个奇异值，便可基本表达出原矩阵的信息。从第2个图，可以看出，当取到前100个奇异值时，这100个奇异值的和已经占总和的95%左右。
References：奇异值的物理意义是什么？ - 知乎