设 f(x) 和 g(x) 都在 [a,b] 上可积，
则 ∀k1,k2∈R,k1f(x)+k2g(x) 也可积， 且有
∫ba[k1f(x)+k2g(x)]dx=k1∫baf(x)dx+k2∫bag(x)dx
f(x) 在 [a,b] 上可积 ⇒∃I1∈R，
使得 ∀ε>0,∃δ1>0 ，
使得对于任意一种 [a,b] 上的划分 P 和任意 n 个点 {εi∈[xi−1,xi]:i∈N,1≤i≤n} ，
只要 λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ1,
便有 |∑ni=1f(εi)Δxi−I1|<ε2(|k1|+1),
g(x) 在 [a,b] 上可积 ⇒∃I2∈R，
使得对于上面的 ε,∃δ2>0 ，
使得对于任意一种 [a,b] 上的划分 P 和任意 n 个点 {εi∈[xi−1,xi]:i∈N,1≤i≤n} ，
只要 λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ2,
便有 |∑ni=1g(εi)Δxi−I2|<ε2(|k2|+1),
取 δ=min{δ1,δ2},
则对于任意一种 [a,b] 上的划分 P 和任意 n 个点 {εi∈[xi−1,xi]:i∈N,1≤i≤n} ，
只要 λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ,
便有 |∑ni=1f(εi)Δxi−I1|<ε2(|k1|+1),
|∑ni=1g(εi)Δxi−I2|<ε2(|k2|+1),
因此 |∑ni=1[k1f(εi)+k2g(εi)]Δxi−(k1I1+k2I2)|
=|k1[∑ni=1f(εi)Δxi−I1]+k2[∑ni=1g(εi)Δxi−I2]|
≤|k1||[∑ni=1f(εi)Δxi−I1|+|k2||∑ni=1g(εi)Δxi−I2|
≤(|k1|+1)|[∑ni=1f(εi)Δxi−I1|+(|k2|+1)|∑ni=1g(εi)Δxi−I2|
<(|k1|+1)ε2(|k1|+1)+(|k2|+1)ε2(|k2|+1)
=ε2+ε2=ε,
因此 ∀k1,k2∈R,k1f(x)+k2g(x) 也可积， 且有
∫ba[k1f(x)+k2g(x)]dx=k1I1+k2I2=k1∫baf(x)dx+k2∫bag(x)dx
闭区间上只有有限个点不为 0 的有界函数必定可积，且 ∫baf(x)dx=0
证明：设 函数 f(x):[a,b]→R 在 [a,b] 有界，且只在 k∈N 个点不为 0 ，
则 ∃M>0,∀x∈[a,b],|f(x)|<M,
f(x)=0,∀x∈[a,b]−{x′1,x′2,⋯x′k},
因此对于任意一种 [a,b] 上的划分 P
和任意 n 个点 {εi∈[xi−1,xi]:i∈N,1≤i≤n} ，
最多在 k 个点处函数值不为 0。
因此 ∀ε>0,∃δ=εkM>0 ，
使得对于任意一种 [a,b] 上的划分 P
和任意 n 个点 {εi∈[xi−1,xi]:i∈N,1≤i≤n} ，
只要 λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ,
便有 |∑ni=1f(εi)Δxi−0|
=|∑ni=1f(εi)Δxi|
≤∑ni=1|f(εi)Δxi|
≤∑ni=1|f(εi)||Δxi|
≤δ∑ni=1|f(εi)|
≤δ⋅kM
<εkM⋅kM
=ε
因此 ∫baf(x)dx=0
若函数 f(x) 在 [a,b] 可积，函数 g(x) 在 [a,b] 有界，
且 f(x) 与 g(x) 只在 [a,b] 中的有限个点不相等，
则 g(x) 在 [a,b] 可积，且 ∫baf(x)dx=∫bag(x)dx
g(x)−f(x) 在 [a,b] 有界，且只在 [a,b] 中的有限个点不为 0 。
由引理，g(x)−f(x) 在 [a,b] 可积，且 ∫ba[g(x)−f(x)]dx=0
由性质1， g(x)=[g(x)−f(x)]+f(x) 在 [a,b] 可积，
且 ∫bag(x)dx=∫ba[g(x)−f(x)+f(x)]dx
=∫ba[g(x)−f(x)]dx+∫baf(x)dx
=∫baf(x)dx
若函数 f(x) 在 [a,b] 可积，则
∫ba[−f(x)]dx=−∫baf(x)dx
∫ba[−f(x)]dx=∫ba(−1)⋅f(x)dx=(−1)∫ba⋅f(x)dx=−∫baf(x)dx