我的公众号“每日晴天”，可关注领取我的笔记pdf版哦~
------------------------------------------------------------------------------
一、向量
1、简单的高中那些就不说了....
2、左右手系：
右手系：将右手四指(拇指除外)从x轴方向以小于π的角度弯向y轴方向，如果拇指所指的方向为z轴的方向，则称此坐标系为右手系。
左手系：将左手四指(拇指除外)从x轴方向以小于π的角度弯向y轴方向，如果拇指所指的方向为z轴的方向，则称此坐标系为左手系。
3、单位向量的方向：设向量
，p的长度为
，则它的单位向量可以表示为
。
所以向量投影的定义为：
其中方向余弦是：
；
；
。
三个方向余弦的平方和等于1，
4、向量的内积：两个向量a和b的内积记作
，定义为下面的实数，
，若a与b中有一个为0的向量，则
。
其中：
。
5、对于任意的向量a，b，c，以及任意实数λ，有
(1)若
，则
(2)
(3)
(4)
6、向量的外积：
(1)定义：两个向量a与b的外积记作
，它仍是一个向量，将其长度规定为：
，它的方向规定为与a，b均垂直，并且使
成右手系。
(2)性质：
①若a，b中有一个为0，则a×b=0。
②a×b=0的充分必要条件是a与b共线。
外积的几何意义：当a与b不平行时，
表示以a和b为领边的平行四边形的面积。
(3)外积的计算性质：对于任意的向量a，b，c，以及任意实数λ，外积有
①
；②
；③
④
。
(4)外积的计算：设
，
。
。
为了方便记忆可以写成：
7、向量的混合积：
(1)定义：三个向量a，b，c的混合积记作(a,b,c)，它是一个数，规定
(2)几何意义：以三个非零向量a，b，c为棱作一个平行六面体，其底面积为|a×b|，高为
，其中θ为c与a×b的夹角。于是该平行六面体的体积为
(3)在空间直角坐标系中建立混合积的坐标表达式：
设
；
；
。
从而有：
注意，有的地方是写成
此时他们定义的混合积是：
二、空间平面及其方程
1、平面的点法式方程：设π平面的法向量
，
是π平面上的一点，因此其平面方程为：
(其实很简单，记住原理使法向量和平面上的一条向量垂直就可以了)
2、平面的一般式方程：
，其中
，这个方程称为平面的一般式方程
(1)设C≠0，则方程可以化成：
，对照平面的点法式方程，我们可以知道这是一个过
且以
为法向量的平面。
(2)特点：
①D=0时，方程表示一个过原点的平面。
②当D≠0时，若A，B，C中只有一个为零，则平面平行失眠的红牛个坐标轴
(如只有C=0时，平面的法向量与z轴垂直，因此平面平行于z轴)
③当D≠0时，若A，B，C中只有一个不为零，则平面平行失眠的红牛坐标面
(如只有A≠0，则平面的法向量平行于x轴，因此平面平行于yOz面)
3、平面的截距式方程：当abc≠0时，平面
在x、y、z轴上的截距分别为a、b、c，因此这种形式的平面称为平面的截距式方程。
4、平面的三点式方程：用三点可以确定一个平面，三个点都在这个平面上面，设
；
；
。则这三个点构成的三个向量他们的混合积等于0，所以得到方程
5、两平面间的关系设两个平面：
；
。
结论：
(1)两个平面重合
(2)两个平面平行
(3)两个平面相交
6、同轴平面束：经过同一条直线的所有平面的集合叫做同轴平面束。
设l为平面π1和平面π2的交线，则可以设λ1和λ2，就可以得到
以直线l为轴的平面束方程：
、
三、空间直线及其方程
1、直线的点向式方程(或者叫直线的对称式方程)：设
，向量
是l的方向向量，所以P(x,y,z)在l上
向量P0P平行于s
则有
。此方程称为直线的点向式方程。
2、直线的一般式方程：当
时，由方程组确定：
3、直线与直线的关系：设两条空间直线：
；
分析：l1过点
，方向向量
；
l2过点
，方向向量
。
两直线固定点的向量P1P2为：
(1)共面与异面的判断：s1、s2、P1P2的混合积为0则
共面，否则两直线异面。
(2)共面后判断是否重合、平行、相交。
①两直线重合
②两直线平行
且不平行于向量
③两直线相交
三个向量共面但s1与s2不平行
四、直线与平面的关系，点和直线和平面的关系
1、直线与平面的关系：
设
,
.
记s为l的方向向量
；π的法向量为
(1)l在π上
s垂直于n，且点
满足平面π的方程
(2)l与π平行
方向向量s与n垂直，但是点
不满足平面π的方程
(3)l与π相交
方向向量s与n不垂直
(4)l与π垂直
s//n(即s×n=0)
2、直线与平面相互之间的夹角(都是锐角)
设l1、l2的方向向量分别为s1，s2。平面π1和π2的法向量分别为n1和n2。
(1)两条直线的夹角：s1和s2的夹角为θ，把
(因为两直线的夹角一定为锐角)称为两直线的夹角。
。
(2)两个平面的夹角：n1与n2的夹角是θ，把
(因为平面的夹角一定为锐角)称为平面的夹角的夹角。
。
(3)平面与直线的夹角：设s1和n1的夹角为θ，把
称为直线l1与平面π1的夹角。有
。
3、距离问题：
(1)点到直线的距离：设
是空间一定点，过点
且方向向量为s的直线用
表示；点P0到l的距离用
表示。
设θ为向量s与向量P1P0的夹角，则从图中可以得到有
又因为从外积公式得到
所以
。
(2)点到平面的距离：设
是空间一定点，过点
且法向量n的平面用
表示；点P0到l的距离用
表示。
设θ为向量n与向量P1P0的夹角，则从图中可以得到，
。
由内积公式可以得到
所以可以得到：
。
(对于π平面的方程为：Ax+By+Cz+D=0，
则公式为
)