先说KM算法求二分图的最佳匹配思想，再详讲KM的实现。
【KM算法求二分图的最佳匹配思想】
对于具有二部划分( V1, V2 )的加权完全二分图，其中 V1= { x1, x2, x3, ... , xn }， V2= {y1, y2, y3, ... , yn }，边< xi, yj>具有权值 Wi,j。该带权二分图中一个总权值最大的完美匹配，称之为最佳匹配。 记 L(x) 表示结点 x的标记量，如果对于二部图中的任何边<x,y>，都有 L(x)+L(y)>= W x,y，我们称L 为二部图的可行顶标。 设 G(V,E) 为二部图， G'(V,E') 为二部图的子图。如果对于 G'中的任何边<x,y> 满足， L(x)+ L(y)==W x,y，我们称G'(V,E') 为 G(V,E) 的等价子图。 定理一：设 L 是二部图 G 的可行顶标。若 L 等价子图 G L 有完美匹配M，则 M 是 G 的最佳匹配。 证明：由于 GL 是G 的等价子图，M 是 GL 的完美匹配，所以，M也是 G 的完美匹配。以由于对于匹配 M 的每条边 e ，都有 e∈ E(GL )，而且M 中每条边覆盖每个顶点正好一次，所以 W( M )= å W(e),e∈ M = å L(x),x∈ V 另一方面，对于 G 的任何完美匹配 M' 有 W( M' )= å W(e),e∈M' <= å L(x),x∈ V 于是 W( M )>= W( M' )，即 M 是G 的最优匹配。 由上述定理，我们可以通过来不断修改可行顶标，得到等价子图，从而求出最佳匹配。 就像匈牙利算法一样，我们依次为每一个顶点 i寻找增广路径，如果寻找增广路径失败，我们就修改相应的可行顶标，来得到增广路径。 如图： | 1 2 3 | | 3 2 4 | | 2 3 5 | 若要对这个完全二分图求最佳匹配 初始化： Lx(1)= max{ y| w(1,y), 1<= y<= 3 }=max{ 1, 2, 3 }= 3, Ly(1)= 0 Lx(2)= max{ 3, 2, 4 }= 4, Ly(2)= 0 Lx(3)= max{ 2, 3, 5 }= 5, Ly(3)= 0; 我们建立等价子图( 满足 Lx(x)+ Ly(y)== W(x,y) ) 如下： 对于该图，运用匈牙利算法对 X 部顶点 1 求增广路径，得到一个匹配，如图(红色代表匹配边 )： 对 X 部顶点 2 求增广路径失败，寻找增广路径的过程为 X2-> Y 3-> X 1。我们把寻找增广路径失败的 DFS的交错树中，在 X 部顶点集称之为 S， 在 Y 部的顶点集称之为 T。则 S= { 1, 2 }，T= { 3}。现在我们就通过修改顶标值来扩大等价子图，如何修改。 1) 我们寻找一个 d 值，使得d= min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y), x∈ S,y∉ T }，因些，这时 d= min{ Lx(1)+Ly(1)-W(1,1), Lx(1)+Ly(2)-W(1,2), Lx(2)+Ly(1)-W(2,1), Lx(2)+Ly(2)-W(2,2)}= min{ 3+0- 1, 3+0-2, 4+0-3, 4+0-2 }= min{ 2, 1, 1, 2 }=1。 寻找最小的 d 是为了保证修改后仍满足性质对于边 <x,y> 有Lx(x)+ Ly(y)>= W(x,y)。 2) 然后对于顶点 x 1. 如果 x∈ S 则 Lx(x)= Lx(x)- d。 2. 如果 x∈ T 则 Ly(x)= Ly(x)+ d。 3. 其它情况保持不变。 如此修改后，我们发现对于边<x,y>，顶标 Lx(x)+ Ly(y)的值为 1. Lx(x)- d+ Ly(y)+d， x∈ S,y∈ T。 2. Lx(x)+Ly(y)， x∉ S, y∉ T。 3. Lx(x)- d+ Ly(y)， x∈ S,y∉ T。 4. Lx(x)+ Ly(y)+ d，x∉ S, y∈ T。 易知，修改后对于任何边仍满足 Lx(x)+ Ly(y)>= W(x,y)，并且第三种情况顶标值减少了d，如此定会使等价子图扩大。 就上例而言: 修改后 Lx(1)= 2, Lx(2)= 3, Lx(3)= 5, Ly(1)= 0, Ly(1)= 0, Ly(2)=0, Ly(3)= 1。 这时 Lx(2)+Ly(1)=3+0=3= W(2,1)，在等价子图中增加了一条边，等价子图变为： 如此按以上方法，得到等价子图的完美匹配。 另外计算 d 值的时候可以进行一些优化。 定义 slack(y)= min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y)，x∈ S, y∉ T } 这样能在寻找增广路径的时候就顺便将 slack 求出。 （以上为摘上网络）
【KM算法及其具体过程】
（1）可行点标：每个点有一个标号，记lx[i]为X方点i的标号，ly[j]为Y方点j的标号。如果对于图中的任意边(i, j,W)都有lx[i]+ly[j]>=W，则这一组点标是可行的。特别地，对于lx[i]+ly[j]=W的边(i, j,W)，称为可行边；
（2）KM算法的核心思想就是通过修改某些点的标号（但要满足点标始终是可行的），不断增加图中的可行边总数，直到图中存在仅由可行边组成的完全匹配为止，此时这个匹配一定是最佳的（因为由可行点标的的定义，图中的任意一个完全匹配，其边权总和均不大于所有点的标号之和，而仅由可行边组成的完全匹配的边权总和等于所有点的标号之和，故这个匹配是最佳的）。一开始，求出每个点的初始标号：lx[i]=max{e.W|e.x=i}（即每个X方点的初始标号为与这个X方点相关联的权值最大的边的权值），ly[j]=0（即每个Y方点的初始标号为0）。这个初始点标显然是可行的，并且，与任意一个X方点关联的边中至少有一条可行边；
（3）然后，从每个X方点开始DFS增广。DFS增广的过程与最大匹配的Hungary算法基本相同，只是要注意两点：一是只找可行边，二是要把搜索过程中遍历到的X方点全部记下来（可以用vst搞一下），以进行后面的修改；
（4）增广的结果有两种：若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广。若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的数量增加。方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d，所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d，则对于图中的任意一条边(i, j, W)（i为X方点，j为Y方点）：
<1>i和j都在增广轨中：此时边(i,j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变（原来是可行边则现在仍是，原来不是则现在仍不是）；
<2>i在增广轨中而j不在：此时边(i,j)的(lx[i]+ly[j])的值减少了d，也就是原来这条边不是可行边（否则j就会被遍历到了），而现在可能是；
<3>j在增广轨中而i不在：此时边(i,j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d，也就是原来这条边不是可行边（若这条边是可行边，则在遍历到j时会紧接着执行DFS(i)，此时i就会被遍历到），现在仍不是；
<4>i和j都不在增广轨中：此时边(i,j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变。
这样，在进行了这一步修改操作后，图中原来的可行边仍可行，而原来不可行的边现在则可能变为可行边。那么d的值应取多少？显然，整个点标不能失去可行性，也就是对于上述的第<2>类边，其lx[i]+ly[j]>=W这一性质不能被改变，故取所有第<2>类边的(lx[i]+ly[j]-W)的最小值作为d值即可。这样一方面可以保证点标的可行性，另一方面，经过这一步后，图中至少会增加一条可行边。
（5）修改后，继续对这个X方点DFS增广，若还失败则继续修改，直到成功为止；
（6）以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d。
【求二分图的最小匹配】
只需把权值取反，变为负的，再用KM算出最大权匹配，取反则为其最小权匹配。
hdoj 2255
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define M 310
#define inf 0x3f3f3f3f
int n,nx,ny;
intlink[M],lx[M],ly[M],slack[M]; //lx,ly为顶标，nx,ny分别为x点集y点集的个数
int visx[M],visy[M],w[M][M];
int DFS(int x)
{
visx[x] =1;
for (int y =1;y <= ny;y ++)
{
if (visy[y])
continue;
int t = lx[x] + ly[y] - w[x][y];
if (t ==0) //
{
visy[y] = 1;
if (link[y] == -1||DFS(link[y]))
{
link[y] = x;
return 1;
}
}
else if (slack[y] > t) //不在相等子图中slack 取最小的
slack[y] = t;
}
return0;
}
int KM()
{
inti,j;
memset(link,-1,sizeof(link));
memset(ly,0,sizeof(ly));
for (i = 1;i<= nx;i++) //lx初始化为与它关联边中最大的
for (j = 1,lx[i] = -inf;j <= ny;j ++)
if (w[i][j] > lx[i])
lx[i] = w[i][j];
for (int x =1;x <= nx;x ++)
{
for (i = 1;i <= ny;i ++)
slack[i] = inf;
while (1)
{
memset (visx,0,sizeof(visx));
memset (visy,0,sizeof(visy));
if(DFS(x)) //若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广
break; //若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的数量增加。
//方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d，
//所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d
int d = inf;
for (i = 1;i <= ny;i ++)
if (!visy[i]&&d >slack[i])
d = slack[i];
for (i = 1;i <= nx;i ++)
if (visx[i])
lx[i] -= d;
for (i = 1;i <= ny;i ++) //修改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d
if (visy[i])
ly[i] += d;
else
slack[i] -= d;
}
}
int res =0;
for (i = 1;i<= ny;i ++)
if (link[i] > -1)
res += w[link[i]][i];
returnres;
}
int main ()
{
inti,j;
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
nx = ny = n;
// memset (w,0,sizeof(w));
for (i = 1;i <= n;i ++)
for (j = 1;j <= n;j ++)
scanf ("%d",&w[i][j]);
int ans = KM();
printf ("%dn",ans);
}
return0;
}