当正整数A与B互质时，用A和B表示不出的最大数为A*B-A-B。
证明：
两个互质的数A、B（无论是否相差为1），最小公倍数为AB。
设a(n)为使式子a(n)B mod A = n成立的最小正整数，
其中n从1到A-1。可以证明，0<a(n)<A。
显然a(n)不可能为A的倍数。
如果a(n)>A，则有a(n)B mod A = (a(n)-A)B mod A = n，
：即a(n)-A也是使以上式子成立的正整数，但显然比a(n)小，
因此不是最小正整数。所以a(n)<A。
令n从1到A-1，由于所有的a(n)都小于A且显然各不相同
不可能同一个数除以A能得到两个不同的余数），
所以a(1)到a(A-1)就是1到A-1的一个排列。
这时，我们考察所有大于AB数X，
X=AB+mA+n，n为X除以A的余数。
我们先用B个A表示AB，m个A表示mA。
这时我们将把其中一些A换成B，使得余数n消失。
由上面的式子，a(n)B = pA + n，因此，可以用a(n)个B替换掉p个A。
而显然这时，pA=a(n)B-n<AB，即p<B，因此有足够的A被替换掉。
就是说，凡是大于AB的数都可以用A与B表示。
设A>B
进一步考察X小于AB但大于AB-A时的情况。
此时X=(B-1)A+n，n为X除以A的余数
先用B-1个A凑成(B-1)A。
然后我们将把其中一些A换成B，使得余数n消失。
由上面的式子，a(n)B = pA + n，因此，可以用a(n)个B替换掉p个A。
而显然这时，pA=a(n)B-n<AB，即p<B，因此有足够的A（B-1个足够了）被替换掉。
因此，AB-A到AB之间的数可以用A、B表示。
又显然AB-A是A的倍数，可以用A表示。
由于a(n)>0，而小于AB且大于AB-A的数都可以用若干个A及至少1个B表示出来，
因此将这些数都减掉一个B也能表示出来。
即大于AB-A-B但小于AB-B的数都用A、B表示得出来。
又由于A>B，所以AB-B>AB-A，即大于AB-A-B但小于AB-A的数都能表示出来。
也就是说凡大于AB-A-B的数都能表示出来。
假设AB-A-B可以用A和B表示，即AB-A-B=mA+nB，
移项可得(B-m-1)*A=(n+1)*B，而n+1>0，
也就是说等式两边不为0。
根据n+1<=A且A、B互质，只能有A=n+1，B-m-1=B，得出m=-1，
与前提矛盾。
所以，AB-A-B无法用A、B表示。
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