、条件极值、拉格朗日乘数法
1. 转化为无条件极值
在讨论多元函数极值问题时，如果遇到除了在定义域中寻求驻点(可能的极值点)外，对自变量再无别的限制条件，我们称这类问题为函数的无条件极值。如求
的极值，就是无条件极值问题。
然而在实际中，我们也会遇到另一类问题。 比如，讨论表面积为
的长方体的最大体积问题。若设长方体的三度为
,
则体积
，同时应满足
于是我们的问题的数学含义就是：当自变量
满足条件
下取何值时能使函数
取得最大值。(这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值)。
一般抽象出来，可表为如下形式：
即函数
在条件
下的取极大(小)值问题。今后，我们称这种问题为
函数的条件极值问题。 对自变量有附加条件的极值称为条件极值。 一般称
为目标函数，
为约束条件
( 或约束方程 ) 。
对于有些实际问题 , 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。
例如上述问题 , 由条件
,
解得
,
于是得 V
.
只需求 V的无条件极值问题。
例 6 求函数
在约束条件
下的条件极值。
解 由约束条件
可解出
代入目标函数，有：
令
得驻点
由于当
时，
，当
时，
在
时取极大值，
又当
时，由约束条件可解出
，
而
，此例说明条件极值可有如下一种解法：
如果能从约束方程中解出一个自变量，代入目标函数后，就可转化为无条件极值。
通过讨论无条件极值可得问题的解答。但在很多实际问题中，往往不容易从约束条件中解出一个自变量，从而上述方法就失效了。因此，对条件极值我们应讨论一般解法。
2. 关于条件极值的 拉格朗日乘数法
在很多情形下 , 将条件极值化为无条件极值并不容易。 需要另一种求条件极值的专用方法 , 这就是拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法： 要找函数 z= f( x, y) 在条件 j
( x, y) = 0 下的可能极值点 , 可以先构成辅助函数 F( x, y
) = f( x, y) + lj( x, y
) , 其中 l为某一常数。
然后解方程组
.
由这方程组解出 x, y及 l, 则其中 ( x, y)
就是所要求的可能的极值点。
一般称 F( x, y) = f( x, y
) + lj( x, y) 为拉格朗日函数，待定常数λ称为拉格朗日乘数
归纳上述讨论过程，可得拉格朗日乘数法如下：
欲求函数
满足约束条件
的极值，一般步骤为：
( 1 )构造拉格朗日函数 F( x, y) = f( x,
y) + lj( x, y) ;
( 2 )建立偏导数方程组
( 3 )解此方程组的解，可得可能的极值点
例 7 将正数 12 分成三个正数
之和
使得
为最大
.
令
,
则
解得唯一驻点
，
故最大值为
这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。
至于如何确定所求的点是否是极值点 , 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。
例 8 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积 .
解 设长方体的三棱的长为 x, y, z, 则问题就是在条件 2( xy+ yz
+ xz) = a2 下
求函数
V= xyz的最大值。
构成辅助函数 F( x, y, z) = xyz+ l
(2 xy+ 2 yz+ 2 xz- a2 ) ,
解方程组
,
得
,
这是唯一可能的极值点。
因为由问题本身可知最大值一定存在 , 所以最大值就在这个可能的值点处取得。
此时
.
思考题：若
及
在
点均取得极值，则
在点
是否也取得极值？
五、小结
1 、 多元函数的极值
2 、(取得极值的必要条件、充分条件)
3 、多元函数的最值
4 、拉格朗日乘数法
六、作业
P 471 1 、 2 、 3 、 6