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实变函数开集与闭集的性质,实变函数闭包与闭集的关系

时间:2023-05-05 00:09:10 阅读:270596 作者:150

   1        $$beex bea Embox{ 是开集}&lra E^o=E\        &lra forall P_0in E, exists U(P_0)subset E.        eea        eeex$$    

   2        $$beex bea Embox{ 是闭集}&lra    E'subset E\    &lra E^-=E\    &lra mbox{若 }Eni P_nto P_0,mbox{ 则 }P_0in E.        eea        eeex$$    

   3 对 $Esubset bbR^n$, $E^o$ 是开集, $E',E^-$ 是闭集.    

   

   4 (开集、闭集的对偶性):        $$bex        Embox{ 是开 (闭) 集}lra E^cmbox{ 是闭 (开) 集}.        eex$$        证明: 设 $E$ 是开集, 往证 $E^c$ 是闭集: $E^{c-}=E^{oc}=E^c$.    

       设 $E$ 是闭集, 往证 $E^c$ 是开集: $E^{co}=E^{-c}=E^c$.    

   

   

   5 任意多个开集之并是开集, 有限多个开集之交是开集;    

       任意多个闭集之交是闭集, 有限多个闭集之并是闭集.    

       证明: 设 $sed{E_lambda}_{lambdain vLa}$ 是开集族, 往证 $dps{cup_{lambdain vLa}E_lambda}$ 是开集:        $$beex bea P_0in cup_{lambdain vLa}E_lambda        &ra exists lambda_0in vLa,st P_0in E_{lambda_0}\        &ra        exists U(P_0)subset E_{lambda_0}subset cup_{lambdain vLa}E_lambda.        eea        eeex$$    

       设 $sed{E_i}_{i=1}^n$ 是开集, 往证 $dps{cap_{i=1}^m E_i}$ 是开集:        $$beex bea P_0in cap_{i=1}^m E_i        &ra forall i, P_0in E_i\        &ra forall i, exists U(P_0,delta_i)subset E_i\        &ra U(P_0,delta)subset cap_{i=1}^m E_iquadsex{delta=min delta_i}.        eea        eeex$$    

       另外两个直接是 De Morgan 公式的推论.    

   

   6 例:        $$bex        cap_{n=1}^inftysex{a-frac{1}{n},b+frac{1}{n}}=[a,b],quad cup_{n=1}^inftysez{a+frac{1}{n},b-frac{1}{n}}=(a,b).        eex$$    

   

   7 (正规性) 设两闭集 $F_1,F_2$ 不交, 则存在开集 $O_1supset F_1, O_2supset F_2$, 使得 

    $O_1cap O_2=vno$.    

   

   8 思考: 两闭集 $F_1,F_2$ 不交, 能否推出 $d(F_1,F_2)=0$?    

       答案: 不能! 比如 $bbR^2$ 中的两个闭集:    $$bex    F_1=sed{(x,0);xinbbR},quad F_2=sed{(x,e^x);xinbbR}.    eex$$    

   

   9        $$beex bea Embox{ 是紧集}&lra sex{Esubset cup_{lambdain vLa}O_lambdara Esubset cup_{i=1}^m O_i}\        &lra Embox{ 是有界闭集}.        eea        eeex$$        证明: $la$ Heine-Borel 有限覆盖定理.    

           $ra$ $E$ 有界:        $$bex        Esubset cup_{Pin M}U(P,1)ra         Esubset U(P_1,1)cupcdotscup U(P_m,1).        eex$$

        $E$ 是闭集:        $$beex bea P_0in E^c&ra forall Pin E, delta_P=d(P,P_0)>0\        &ra Esubset cup_{Pin M}Usex{P,frac{delta_P}{2}}\        &ra Esubset Usex{P_1,frac{delta_{P_1}}{2}}cup        cdotscup Usex{P_m,frac{delta_{P_m}}{2}}\        &ra Usex{P,delta}subset M^cquadsex{delta=frac{1}{2}min delta_{P_i}}.        eea        eeex$$    

   

   10    $$beex bea Embox{ 是自密集 (dense-in-itself)}        &lra Esubset E'\        &lra Embox{ 没有孤立点};        eea        eeex$$        $$beex bea Embox{ 是完备集 (complete set)}&lra E=E'\        &lra Embox{ 是自密闭集}.        eea        eeex$$            (1) 例: $vno$ 是自密集, 也是完备集; 

        在 $bbR$ 中, $bbQ$ 是自密集, $[a,b]$ 和 $bbR$ 是完备集.            

   11 作业: Page 51, T 7.    

 

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