度量空间 (metric space) (M,d) 的一个子集 U 是开集，如果给定的任意一个 U 中的点 x，存在一个实数 ε > 0 varepsilon>0 ε>0 使得任意 M 中的点 y 有 d ( x , y ) < ε d(x,y)<varepsilon d(x,y)<ε，y 也是属于 U。相当于，U 是开集，如果任意一个 U 中的点的领域也包括在 U。
Open Set - Wikipedia
闭集解释1：在一个拓扑空间 (topological space)，一个集合是闭的 if and only if it coincides with its closure. 相当于，一个集合是闭的当且仅当它包括所有它的 limit points/boundary points.
解释2：在拓扑空间中，闭集（closed set）是指其补集为开集的集合2。
例如：
区间 ( − ∞ , 2 ] (−infty, 2 ] (−∞,2] 是闭集（这是一个半区间）
区间 ( − 1 , 2 ] (−1, 2 ] (−1,2] 既不是开集，也不是闭集。
有理数集合 Q 既不是开集，也不是闭集。
Closed Set - Wikipedia
紧集若一个集合它不仅是闭集还是有界的，则该集合被称作紧集(compact set)
例如：
区间 ( − ∞ , 2 ] ( −infty , 2 ] (−∞,2] 不是紧集，因为它下无界。
区间 ( − 2 , 4 ) (−2, 4 ) (−2,4) 不是紧集，因为它不是闭集。
区间 [ − 2 , 4 ] [− 2, 4] [−2,4] 是紧集，因为它既是闭集又有界。
紧集-百度百科