注：本文内容只是我的课堂学习内容小结，与一些教材给出的内容可能略有出入
基本定理内容 戴德金连续性公理设
是 的两个子集，满足 ，且对任何 ，都有 ，则称 为 的一个分割，对于 的任何分割，存在唯一的 ，使得 ，都有这实际上描述了“实数没有空隙”
2. 确界存在原理
任何有上界的非空集必有上确界
任何有下界的非空集必有下确界
3. 单调有界原理
单调递增且有上界的数列是收敛的
单调递减且有下界的数列是收敛的
4. 区间套定理
设
中一列闭区间 满足：则
, s.t.5. 聚点定理
称
是集合 的聚点，若（记集合 的聚点集合为 ，也可以称作 的导集） 定理：有界无穷点集必有聚点
实际上，由聚点定理可以直接导出：任意有界数列必然存在收敛子列
这个导出定理也被称作 致密性定理，它与聚点定理的等价性是显然的，因此不将其单独作为一个基本定理
6. 有限覆盖定理
称一个开集集合
是 的开覆盖，若：称 是 的一个开覆盖，且 是一个有限数，则称 是开覆盖 中的一个有限子覆盖 定理： 是有限闭集，当且仅当 的任意开覆盖均存在有限子覆盖
为方便表述，我们约定：称集合 具有“有限覆盖性”，若 的任意开覆盖均存在有限子覆盖
7. 柯西准则
称
是一个柯西序列，若 ，有 准则：柯西序列是收敛的我们把柯西准则刻画的空间称作 完备空间 基本定理关系
在实数域中，上述7条命题是等价的，只需承认任意一条，在阿基米德性质成立的前提下，其余6条就成立
事实上，我们认为实数域是完备的，也就是说我们认为柯西准则成立
7条命题的等价互推关系如下图：
可以看出，互推图是一个强连通图，因此7条命题是互相等价的，当然这要求阿基米德性质成立
基本定理的互推 戴德金连续性公理 确界原理 设 有上界，设 为 的上界集，则 且设 ，则 ，于是 为 的一个分割
根据戴德金连续性公理，存在唯一的 ，使得： ，都有 （1）
假设 不是 的上界，则 , s.t. ，于是
那么 不是 的上界，因此 ，根据（1）式有 ，矛盾
于是 是 的上界，那么
又根据（1）式，我们知道 是 中的最小元，故 是 的最小上界，即上确界 同理可证，若 有下界，则 有下确界 确界原理 戴德金连续性公理 设 为 的任一分割，由确界原理知 有上确界，记作
则， ，有
根据分割的定义， 中元素都是 的上界，于是 ，都有
于是 满足
假设存在 ，同样满足 ，不妨设
于是，有：
那么 既不属于 也不属于 ，矛盾
因此符合条件的 是存在且唯一的 确界原理 单调有界原理 设数列 单调递增且有上界，我们证明 是收敛的
根据确界原理， 存在，设 s.t. ，故 是收敛的，且收敛于上确界 对于单调递减且有下界的数列，同理可证 单调有界原理 区间套定理 由条件知： 递增， 递减，且均有界
根据单调有界原理， 与 极限存在
设 ，则 是 的上确界，且根据极限的四则运算法则，我们有：
于是 也是 的下确界，于是 ，都有 ，故 ，则 ，都有
由迫敛性：
于是有 ，因此 中只存在唯一的元素
综上， 区间套定理 聚点定理 设 是 中的有界无穷点集，取一列两两不同的数 我们先来证明存在子列 是收敛的
由于 有界，则 也是有界的，设 ，都有
由于 在 有无穷多项，因此 在 和 的至少一者中有无穷多项
若在 中有无穷多项，取 ，否则，取 ，记
取一个 ，使得
继续，若在 中有无穷多项，取 ，否则，取 ，记
由于 在 中有无穷项，所以总是能取得 ，使得
如此反复操作，得到一列闭区间 以及 的一个子列 ，满足： ，且 则根据区间套定理， ，我们来证明
我们知道 ，都有
根据区间套定理的证明过程，我们又知道
由迫敛性，知： ，故该子列是收敛的 我们可以将上述 中的所有元素看作 的一个子集
由于 收敛于 ，则 存在聚点 ，则 同样也是 的聚点
于是 的聚点存在 区间套定理 有限覆盖定理 （必要性）设 是有限闭集，则不妨设 ，任取一个 的开覆盖，记作
设 不能被 中有限个开集覆盖，则 和 中至少一者不能被 中有限个开集覆盖
若 不能被 中有限个开集覆盖，取 ，否则取
如此反复操作，取得一列闭区间 ，则根据假设， 都满足 不能被 中有限个开集覆盖
根据区间套定理， ，且
于是 , s.t. ，根据开集的性质， , s.t.
又， , s.t. ，于是仅一个 就覆盖了
这与 不能被 中有限个开集覆盖矛盾，因此假设不成立
于是 可以被 中有限个开集覆盖，故 可以被 中有限个开集覆盖 （充分性）设 具有有限覆盖性 取 ，则
根据有限覆盖性质， , s.t.
又知道 ，于是 ，故 有界 ，要证 是闭集，只需证明
假设 , s.t.
记 是开集且
根据区间套定理，易知 ，于是
根据有限覆盖性， , s.t.
如此， 中的任意元素都不在 中，这与 矛盾
因此 ，都有 ，也即 ，故 是闭集 有限覆盖定理 聚点定理 设 是有界无穷点集，由于 有界，不妨设
假设 不存在聚点
即，
设 ，则 是 的一个开覆盖
根据有限覆盖性， , s.t.
而 仅包含了 中的 个元素，这与 是无穷集矛盾
因此， 存在聚点 聚点定理 柯西准则 设 是一个柯西序列，则易证 是有界的
根据定义：
由聚点定理，我们知道，存在子列 ，使得 , s.t.
取
则根据三角不等式， ，故 是收敛的 柯西准则 确界原理 设集合 有上界，取 ，使得 ，都有
取 ，记 ，考察 是否为 的上界
若 是 的上界，则取 ，否则取
如此，得到一列闭区间 ，满足： ， 都是 的上界，且 ，取
于是，
故 是柯西序列，有柯西准则知 收敛，设
由于 , ，都有 ，根据极限的保序性，有 ，故 为 的上界又知道
于是， ，又知道 ，于是有：
而 ，故 不是 的上界，于是 是 的上确界 同理，若 有下界，同样的方法可以证明 有下确界 更新
最近发现柯西准则到确界原理的证明不自然，而且过程明显有借助区间套这个跳板的嫌疑，所以干脆把柯西准则
区间套定理 ，以及 区间套定理 确界原理 证一遍 柯西准则 区间套定理 设 中一列闭区间 满足：1.
2. s.t.
于是，
故 是柯西序列，由柯西准则知其收敛，设
同理可得 收敛，设
则，
于是，设
由 递增、 递减，易得
于是有 ，则 ，都有
由迫敛性：
于是有 ，因此 中只存在唯一的元素
综上，