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求解 Ax=b 向量间的线性无关性（linear Independence of vectors）向量空间的基（Vectors that span a space & A basis for a vector space）向量空间的维度（dimension of a vector space）1. Ax=b 的可解性及解的结构
前面提及 Ax=0 时，我们把 Ax=0 通过消元法转化为 Rx=0 来求解。整个解空间存在于矩阵 A 的零空间中N(A),关注的是在空间 Rn 中的事儿。这儿考虑 Ax=b ,我们关注的是列空间 Rm 中的事儿。
可解性：
1) Ax=b 可解的前提是， b 在A的列空间 C(A) 中；
2) 如果 A 的行的线性组合得0,则对 b 进行相同的线性操作时也可得0；
解
现求解 Ax=b 时，在消元过程中不得不考虑对 b 进行相同的操作。其解的结构由特解（Particular）及零空间（nullspace）的解组成。
1) Xparticular：把所有自由变量设置为0；
2) Xnullspace ：自由变量依次取0/1；
举例
⎡⎣⎢1232462682810b1b2b3⎤⎦⎥−>⎡⎣⎢100200222244b1b2−2b1b3−3b1⎤⎦⎥−>⎡⎣⎢100200220240b1b2−2b1b3−b1−b2⎤⎦⎥
x1 和 x3 是主变量， x2 和 x4 是自由变量。
1）令 x2 和 x4 =0，得particular解
2）令 x2 =0， x4 =1；令 x2 =1， x4 =0，得基础解系（零空间解）
3）最后解 X=Xp+Xn
Xcomplete=C1⎡⎣⎢⎢⎢−2100⎤⎦⎥⎥⎥+C2⎡⎣⎢⎢⎢20−20⎤⎦⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢3/20−20⎤⎦⎥⎥⎥
用图形的方式理解，解时过 XP 的一个平面。是 R4 的一个子空间。
理解矩阵的秩与行、列的关系
Am∗n ，矩阵的秩 r 关系：r<=m,r<=n.
(1) 列满秩： r=n ，没有自由变量。 N(A)=zero−vector .这时的解有 XParticular ,存在一个或不存在解。
(2) 行满秩： r=m ,这时的有 n−r 个自由变量。解存在多个。
(3) 若 r=m=n ,这时存在唯一解。
矩阵的秩决定了方程组解的数目，且包含了解的所有信息。
The four possibilities for linear equations depend on the rank r :
r=m and r=n Square and invertible Ax=b has 1 solution
r=m and r<n short and wide Ax=b has 无穷 solution
r<m and r=n tall and thin Ax=b has 0 or 1 solution
r<m and r<n Not full rank Ax=b has 0 or 无穷 solution
There are n columns in an m by n matrix. But the true ‘dimension’ of the column space is not necessarily n. The dimension is measured by counting independent columns. The true dimension of column space is the rank r . 2.向量间的线性无关性
定义：如果Ax=0 的解只有 x=0 ，那么说明列向量间是线性无关的（linear independent）.
也就是零空间 N(A) 只包含zero vector。
对三个向量描述，其位于 R3 :
1） 如果三个向量都不在一个平面内，那么各向量间相互独立；
2） 如果三个向量在一个平面内，则其相互不独立，因为任一个向量可以由其余的线性组合而得；
A 列向量的相关性与矩阵A的零空间相联系：如果向量间均无关性，则零空间中只含零向量，自由变量为0，此时方程组的解只能是1或0个；如果向量间存在相关性，则零空间中存在除零向量以外的向量，此时的解时无数个。
r 个pivot columns 一定是相互独立的。
Any set of n vectors in Rm must be linarly dependent if n>m .
3.向量空间的基
Starting with columns v1,...,vn , the subspace was filled out by including all combinations x1v1+...+xnvn . The column space consists of all combinations Ax of the columns.
向量生成空间的定义 Vectors that span a subspace: 如果一系列的向量间的线性组合可将此空间填满，就说向量span一个空间。
经验地，两个向量可以span*空间 R2 或一条直线，三个向量可以**span空间 R3 或仅仅一个平面，或一条直线*。退化的情况是由向量间线性相关导致的。
The rows are in Rn spanning the row space. The columns are in Rm spanning the column space.
eg. 两个向量不能span空间 R3 ,即时向量间相互独立。四个向量即便span空间 R3 ,他们之间也是线性相关的。2太少，4太多，什么时候刚刚好？basis就是满足需要的：we want enough independent vetcors to span the space (and not more).【向量个数足够多，但又不会太多】
定义 :向量空间的基是特殊的向量必须满足两个条件: （1）基之间相互独立（线性无关）； （2）生成空间；
已知向量空间的基=>其满足子空间中向量的一切性质（向量span生成空间的定义）=>通过线性组合向整个空间延展。
举例
对于 n∗n 矩阵给出 Rn 的基：
对于 Ax=0 唯一的解时 x=A−10=0 ,列之间相互独立，他们生成（span）了整个空间 Rn —-因为任何一个向量 b 都可由列向量组合而成. Ax=b解得 x=A−1b.
B=⎡⎣⎢111011122⎤⎦⎥奇异矩阵，列之间相关，列空间不是R3
举例
如果矩阵不可逆，则列也不是基（Its columns are not a basis for anything）.
只有一个主元列。
注：[1,0]（ R 中第一列）是矩阵R的基，但并不是矩阵 A 的基。A列向量的基为[2,3]。因为 A 和R列空间是不同的，他们的基也是不同的！
A 和R的行空间使相同的，是[2,4]或[1,2]！
对矩阵的一系列消元处理都是对整行而言，所以不管怎么变换basis for row space都是相同的。但在变换时，不断地破坏了矩阵的列，改变了列空间，所以basis for column space 也在不断在变化。
4.向量空间的维数
Definition The dimension of a space is the number of vectors in every basis.
理解：basis已经强调了互相独立的向量。互相独立的向量的个数就是该空间的维度！
列空间 C(A) 维度为 r ; 零空间N(A)维度为 n−r .(零空间直接与自由变量数量一致)
列空间的维数=矩阵的秩