双线性是什么意思,什么是双线性变换法

在数论中，一个双线性映射是由两个向量空间上的元素，生成第三个向量空间上一个元素之函数，并且该函数对每个参数都是线性的。最简单的例子：
x y → z , x , y ∈ R xy to z, x,y in R xy→z,x,y∈R

设 V , W V,W V,W 和 X X X 是在同一个基础域F上的三个向量空间。双线性映射是函数：
B : V × W → X B:V times Wto X B:V×W→X

使得对于任何 W W W 中 w w w，映射
v ↦ B ( v , w   ) vmapsto B(v,w ) v↦B(v,w )

是从 V V V 到 X X X 的线性映射，并且对于任何 V V V 中的 v v v，映射
w ↦ B ( v , w   ) wmapsto B(v,w ) w↦B(v,w )

是从 W W W 到 X X X 的线性映射。

换句话说，如果保持双线性映射的第一个参数固定，并留下第二个参数可变，结果的是线性算子，如果保持第二个参数固定也是类似的。

如果 V = W V=W V=W 并且有 B ( v , w   ) = B ( w , v   ) B(v,w )=B(w,v ) B(v,w )=B(w,v ) 对于所有 V V V 中的 v , w v,w v,w，则我们称 B B B 是对称的。

当这里的 X X X 是 F F F 的时候，我们称之为双线性形式，它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。

如果使用在交换环R上的模替代向量空间，定义不需要任何改变。还可容易的推广到 n n n 元函数，这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环 R R R 和右模 M R M_R MR​与左模 R N _RN R​N的情况，我们可以定义双线性映射 B : M × N → T B:Mtimes Nto T B:M×N→T，这里的 T T T 是俭朴的宝马，使得对于任何 N N N 中的 n n n， m ↦ B ( m , n ) m mapsto B(m,n) m↦B(m,n) 是群同态，而对于任何 M M M 中的 m m m, n ↦ B ( m , n ) n mapsto B(m,n) n↦B(m,n) 是群同态，并还满足
B ( m t , n   ) = B ( m , t n   ) B(mt,n ) =B(m,tn ) B(mt,n )=B(m,tn )

对于所有的 M M M 中的 m m m， N N N中 n n n 和 R R R 中的 t t t。