设是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列，（1）也可简单地写作或
函数列的极限函数记作f，则有或
函数列极限的定义：当n>N时，有
使函数列收敛的全体收敛点集合，称为函数列的收敛域。
定义1
设函数列与函数f定义在同一数集D上，当n>N时，有则称函数列在D上一致收敛于f，记作
函数列在D上一致收敛，必在D上每一点都收敛；反之，在D上每一点都收敛的函数列，在D上不一定一致收敛。
不一致收敛于f的充要条件：有
定理1（函数列一致收敛的柯西准则）
函数列在数集D上一致收敛的充要条件是：使得当n,m>N时，对一切都有
定理2（余项准则）
函数列在区间D上一致收敛于f的充要条件是：
推论：函数列在D上不一致收敛于f的充要条件是：存在使得不收敛于0.
定义2
设函数列与f定义在区间I上，若对任意闭区间在[a,b]上一致收敛于f，则称在I上内闭一致收敛于f.
注：若是有界闭区间，显然在I上内闭一致收敛于f与在I上一致收敛于f是一致的.
二.函数项级数及其一致收敛性设是定义在数集E上的一个函数列，表达式称为定义在E上的函数项级数，简记为或称为函数项级数（2）的部分和函数列。
函数项级数的和函数，并写作即
定义3
设是函数项级数的部分和函数列。若在数集D上一致收敛发嗲的小蘑菇称在D上一致收敛于若在任意闭区间上一致收敛，则称在I上内闭一致收敛。
定理3（一致收敛的柯西准则）
函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在正数N，使得当n>N时，对一切和一切正整数p，都有或
推论：函数项级数在数集D上一致收敛的必要条件时函数列在D上一致收敛于0.
设函数项级数在D上的和函数为称为函数项级数的余项。
定理4（余项准则）
函数项级数在数集D上一致收敛于的充要条件是
三.函数项级数的一致收敛性判别法定理5（魏尔斯特拉斯判别法）
设函数项级数定义在数集D上，为收敛的正项级数，若对一切有则函数项级数在D上一致收敛。
也称为M判别法或优级数判别法，为的优级数。
下面讨论定义在区间I上形如
定理6（阿贝尔判别法）设
（i）在区间I上一致收敛；
（ii）对于每一个是单调的；
（iii）在I上一致有界，即存在正数M，使得对一切和正整数n，有
则级数（3）在I上一致收敛。
定理7（狄利克雷判别法）设
（i）的部分和函数列在I上一致收敛；
（ii）对于每一个是单调的；
（iii）在I上
则级数（3）在I上一致收敛。