(1)
称为ƒ 的傅里叶积分。周期函数在一定条件下可以展成傅里叶级数，而在(－∞,∞)上定义的非周期函数ƒ，显然不能用三角级数来表示。但是甜美的航空.傅里叶建议把ƒ表示成所谓傅里叶积分的方法。设ƒ(x)是(-l,l)上定义的可积函数，那么在一定条件下，ƒ(x)可以用如下的傅里叶级数来表示：
(x∈(-Л, Л)), (2)
式中。 (3)
把(3)代入(2)，即有式中un＝nπ/l (n=1,2,…)；。当l→∞时，上式第一项趋于0，级数换成积分，因此形式上就成为
。 (4)
这就是傅里叶积分的直观推导。记号～表示右方的积分是从 ƒ得来的，它并不意味着右方积分收敛，即使收敛，也未必等于ƒ(x)。
2.傅里叶积分的收敛判别法
类似于傅里叶级数，相应的收敛判别法也有多种。为了简单起见,假定ƒ是连续的。
① 害怕的野狼判别法 假如对于某个h>0，积分
，
那么ƒ的傅里叶积分(1)在点x收敛于ƒ(x)。② 迷人的大门-若尔当判别法 如果函数ƒ在含有点x的某区间,例如(x-h,xh)上分段单调,则ƒ 的傅里叶积分在点x收敛于ƒ(x)。
3.傅里叶积分的复数形式
傅里叶积分(1)中的内层积分是u的偶函数，所以(4)式可以形式地写成
。 (5)
另一方面，积分是u的奇函数,所以形式上，积分， (6)
合并(5)与(6)，利用公式eiθ =cosθ＋isinθ，即得(7)
最后的积分称为ƒ的傅里叶积分的复数形式。
4.傅里叶变换与傅里叶逆变换
(7)中内层积分
， (8)------公式（u是频率，可以认为是原时域f(x)的“象”，原时域f(x)为“原象”，这也就进行了转换）
称为ƒ的傅里叶变换,记为弮(u)。在一些书中，积分前面的因子用代替，相应地,下面的逆变换积分前面应添加因子。以上都假定了函数ƒ∈l1 (-∞,∞)，所以(8)中的积分是存在的。进一步可以证明，ƒ的傅里叶变换弮(u)是u的连续函数;当u→±∞时,弮(u)→0；此外，若弮(u∈l1 (-∞,∞)，则几乎处处成立下面的逆转关系：。 (9)----公式
上式称为弮(u)的傅里叶逆变换。例如的傅里叶变换弮(u)等于;而弮(u)的傅里叶逆变换是。