球谐函数性质
和傅里叶级数性质类似，球谐函数也是以正交函数作为基底，傅里叶级数的正交基底为sin(nx)和cos(nx)。球谐函数则是球面上的正交基底。其主要性质有：
标准正交性旋转不变性函数乘积的积分等于其球谐系数向量的点积标准正交性表示：
其中，表示两组球谐函数基底。
旋转不变性表示：
函数乘积的积分等于其球谐系数向量的点积：
我们列出球谐函数的表达式：
我们可以把它理解为加工版的傅里叶级数正交基底。其中为：
我们可以根据公式写出求解的代码：
double Harmonics::K(const int l, const int m){ //m小于0的情况在外部乘上-1传入 return (sqrt(((2 * l + 1) * Factorial(l - m)) / (4 * PI * Factorial(l + m))));}//求解一次阶乘int Harmonics::Factorial(int v){ if (v == 0) return (1); int result = v; while (--v > 0) result *= v; return (result);}
为伴随勒让德多项式(ALP)。首先勒让德函数P(x)是勒让德微分方程的解：
勒让德多项式表达式为：
随勒让德多项式(ALP)引入了两个参数l，m来基于勒让德多项式定义，其表达式为：
我们求解ALP时，可以使用三条递归式：
通过这三条递归式，可以求解任意阶的随勒让德多项式。我们根据公式写出如下代码：
double Harmonics::P(const int l, const int m, const double x){ // 公式二不需要递归计算 if (l == m) return (pow(-1.0f, m) * DoubleFactorial(2 * m - 1) * pow(sqrt(1 - x * x), m)); // 公式三 if (l == m + 1) return (x * (2 * m + 1) * P(m, m, x)); // 公式一 return ((x * (2 * l - 1) * P(l - 1, m, x) - (l + m - 1) * P(l - 2, m, x)) / (l - m));}//二次阶乘int Harmonics::DoubleFactorial(int x){ if (x == 0 || x == -1) return (1); int result = x; while ((x -= 2) > 0) result *= x; return (result);}完成和的计算后，我们可以根据表达式计算球谐函数了，下面给出代码：
double Harmonics::y(const int l, const int m, const double theta, const double phi){ if (m == 0) return (K(l, 0) * P(l, 0, cos(theta))); if (m > 0) return (sqrt(2.0f) * K(l, m) * cos(m * phi) * P(l, m, cos(theta))); // 当m小于0时，预先乘上-1，再传给K return (sqrt(2.0f) * K(l, -m) * sin(-m * phi) * P(l, -m, cos(theta)));}在球面的展开式为：
其中是球谐系数，为球谐函数。这式子和傅里叶级数是非常相似的。同样，我们求解系数的过程也十分相似：
其中为原函数。当我们求解完成相应阶数的系数后，可以重构,我们重构后的函数为：
其中阶数l越高。重构的结果越逼近原函数。
我们求解代码如下：
//计算系数void Harmonics::Evaluate(const std::vector<Vertex>& vertices){ int n = (degree_ + 1)*(degree_ + 1); coefs = vector<glm::vec3>(n,glm::vec3(0.0)); //对球面上的所有采样点进行积分 for (const Vertex& v : vertices) { vector<float> Y = Basis(v.theta,v.phi); for (int i = 0; i < n; i++) { //v.color是我们从原函数f(s)中采样到的颜色 coefs[i] = coefs[i] + Y[i] * v.color; } } for (glm::vec3& coef : coefs) { coef = 4.0f*PI*coef / (float)vertices.size(); }}//用系数重构f(x)glm::vec3 Harmonics::Render(const double theta,const double phi){ int n = (degree_ + 1)*(degree_ + 1); vector<float> Y = Basis(theta,phi); glm::vec3 color=glm::vec3(0.0f); for (int i = 0; i < n; i++) { color = color + Y[i] * coefs[i]; } return color;}vector<float> Harmonics::Basis(const double theta,const double phi){ int n = (degree_ + 1)*(degree_ + 1); vector<float> Y(n); for(int l=0 ; l<=degree_; l++){ for(int m = -1 * l; m <= l; m++){ //利用索引:n=l(l+1)+m Y[l*(l+1)+m] = y(l, m, theta, phi); } } return Y;}随着阶数提高，效果如下：
其中l=3的情况下，其效果和环境光真实差距已经不到1%。低阶非常适合应用于环境光贴图，以及ao贴图等。我们实验尝试的效果为：
其中下方球分别为l=0，1，2，3，4。上方则为原始函数。