线性代数之求逆序数
在线性代数中，经常要求序列的逆序数，即所有逆序之和。在一个排列中若较大的数字排在较小数字的左边，则成这两个数字构成一个逆序。求解过程用C语言描述如下：
#define N 5
int nixu(int a[])
{
int i,j;
int n=0;
for(i=0;i
for(j=i+1;j
if(a[i]>a[j])
n++;
return n;
}
void main()
{
int array[N]={5,4,3,2,1};
printf("nThe number of nixu is:%dn",nixu(array));
逆序数的计算
直接计数
计算一个排列的逆序数的直接方法是逐个枚举逆序，同时统计个数。例如在序列 { 2, 4, 3, 1 } 中，逆序依次为 (2,1), (4,3), (4,1), (3,1)，因此该序列的逆序数为 4。下面这个 Visual Basic 6.0 编写的示例使用的就是直接计数的方法，函数 NiXushu 返回一个字符串的逆序数。
Private Function NiXuShu(ByVal l As String) As Long '逆序数计算
Dim i As Integer, j As Integer, c As Long
Dim n() As Integer
ReDim n(Len(l))
For i = 1 To Len(l)
n(i) = Val(Mid(l, i, 1))
For j = 1 To i - 1
If n(i) < n(j) Then
c = c + 1
End If
Next j
Next i
NiXuShu = c
End Function
归并排序
直接计数法虽然简单直观，但是其时间复杂度是 O(n^2)。一个更快(但稍复杂)的计算方法是在归并排序的同时计算逆序数。下面这个 C++ 编写的例子演示了计算方法。函数 mergeSort() 返回序列的逆序数。
int is1[n],is2[n];// is1为原数组，is2为临时数组，n为个人定义的长度
long mergeSort(int a,int b)// 下标，例如数组int is[5]，全部排序的调用为mergeSort(0,4)
{
if(a
{
int mid=(a+b)/2;
long count=0;
count+=mergeSort(a,mid);
count+=mergeSort(mid+1,b);
count+=merge(a,mid,b);
return count;
}
return 0;
}
long merge(int low,int mid,int high)
{
int i=low,j=mid+1,k=low;
long count=0;
while(i<=mid&&j<=high)
if(is1[i]<=is1[j])// 此处为稳定排序的关键，不能用小于
is2[k++]=is1[i++];
else
{
is2[k++]=is1[j++];
count+=j-k;// 每当后段的数组元素提前时，记录提前的距离
}
w
hile(i<=mid)
is2[k++]=is1[i++];
while(j<=high)
is2[k++]=is1[j++];
for(i=low;i<=high;i++)// 写回原数组
is1[i]=is2[i];
return count;
}