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这九个数字各用一次,组成三个能被9整除的三位数,任意连续9个自然数组成的多位数一定能被9整除

时间:2023-05-04 21:23:09 阅读:282860 作者:2747

题目:

    由1-9这九个数字组成一个九位数(不能重复),前N位数能被N整除,求该九位数。

假设该九位数为abcdefghi,由题意有如下一些结论

(1),(a,c,e,g,i)属于奇数(1,3,5,7,9)。(b,d,f,h)属于偶数(2,4,6,8)。

(2),abc能被3整除,def能被3整除,ghi能被3整除

(3)cd能被4整除。

(4)e为数字5.

(5)gh能被8整除.

(6)abcdefg能被7整除.

首先,由(2)得知,数字组合 abc  ,  def  ,ghi 这三个组合要么组合中三个数字除以3的余数是一样的,要么都不一样。即

a,b,c===k (mod 3)其中k=0,1,2 (情况A);或者 a===x(mod 3),b===y(mod 3) c===z(mod 3)其中(x,y,z)属于(0,1,2)且xyz各不相同 (情况B)。

假设是情况B,那么1-9分为三类数字(1,4,7) (2,5,8)(3,6,9)由于e为5,所以(d,f)属于(2,8),由(5)gh能被8整除,但是36,96,14,74都不能整除8,

因此情况B不成立,接着分析情况A。

现将1-9九个数字分为三组M(1,4,7)N(2,5,8)L(3,6,9),abc和def和ghi也就是从每组中取一个数进行组合而成的。对于def,由于e=5,d和f都是偶数,所以

(d,f)=(4,6),当d=4时,14,74,34,94都不能整除4,所以d=6,f=4。由(5),gh只可能为32或者72.,且b=8。如果gh=32,那么(a,c)=(1,9)或者(a,c)=(7,9),

但是1896543,98165432,78965432,98765432都不能被7整除,因此gh=72,此时(a,c)=(1,3)或者(a,c)=(1,9),唯有a=3,c=1时满足(6),剩下一个数字9就是i了。

所以该数字是381654729.

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