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数学物理方程第一章,中子的数学物理方程

时间:2023-05-06 14:11:21 阅读:286002 作者:2141

n阶线性偏微分方程的求解对于我目前的问题来说没什么用,我只是解二阶线性偏微分方程。

下面我只讲二阶方程如何解

 

2.1 一维波动方程的解

 

2.2常系数线性齐次偏微分方程的通解 Lu=0   (当然2.2.1简单的讨论了非齐次的情形)

2.2.1 L(Dx,Dy)为Dx与Dy的齐次式  只考二阶

代数特征方程的解都不相同 α=a1,a2   a1 != a2

那么 u=Φ1*(y+a1*x) + Φ2*(y+a2*x)

代数特征方程的解都相同 α=a1,a2     a1=a2=a

那么 u=x*Φ1*(y+a*x) + Φ2*(y+a*x)

 

注:代数特征方程的写法如下

(Dx**2 - 2*a*Dt*Dx + a**2*Dx**2)u = 0

L  = Dt**2 - 2*a*Dt*Dx + a**2*Dx**2 = (Dt - a*Dx)**2

令 α=Dt/Dx

则代数特征方程为 (α-a)**2 = 0

 

2.2.1 L(Dx,Dy)不为Dx与Dy的齐次式   只考一阶

(Dx-α*Dy-β)*u = 0

则u=Φ*(y + αx)*exp(βx)

 

2.2.1 分解因式

先看L能否分解因式,如果能的话,对各个因式分别写出代数特征方程进行求通解

最后将所有因式的通解求和,便是最终的通解u

 

2.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解 Lu=f(x,y)

2.3.1 f=exp(ax+by)

方程特解 u* = 1/L(a,b)*f

 

2.3.1 f=exp((ax+by)*i)

方程特解 u* = 1/L(i*a,i*b)*f

 

2.3.1 f=sin(ax+by)  或 cos(ax+by)

方程特解 u*只要取 1/L(i*a,i*b)*f 相应的实部或虚部即可

 

2.3.1 f=g(x,y)*exp(ax+by)

先求解 Lv=g(x,y)  得该方程的特解v*

最终方程特解 u* = v* * exp(ax+by)

 

2.3.1 f= g(ax+by)  L为Dx Dy的n次

方程特解 u* = 1/L(a,b)*G(z)

注:令z=ax+by  G(z)是g(z)的n次积分

 

2.3.1 f=x^m * y^n 或 f=x^m + y^n

L = Dx

特解u*=1/Dx * f  

注:相当于f对x求积分

 

L = DxDy

特解u*=1/Dx/Dy * f

注:相当于f先对y积分 再对x积分

 

注:Dx*G 相当于G对x求导;1/Dx*G 相当于G对x求积分

注:有时还需利用级数展开

如这个式子,利用1/(1-x) 展开,高阶的省略,只保留前 max(m,n) 阶即可

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